§3.prop.6ἐὰν δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων, οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον.
もし２つの円が互いに接するならば、それらの中心は同じではないであろう。
δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΓΔΕ ἐφαπτέσθωσαν ἀλλήλων κατὰ τὸ Γ σημεῖον·
なぜなら、２つの円ΑΒΓ、ΓΔΕが点Γにおいて互いに接するものとせよ。
λέγω, ὅτι οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον.
私は、それらの中心は同じではないと主張する。
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ, καὶ διήχθω, ὡς ἔτυχεν, ἡ ΖΕΒ.
ἐπεὶ οὖν τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΖΓ τῇ ΖΒ. πάλιν, ἐπεὶ τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΔΕ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΖΓ τῇ ΖΕ. ἐδείχθη δὲ ἡ ΖΓ τῇ ΖΒ ἴση·
なぜなら、もし可能ならば、それをΖとし、ΖΓが結ばれ、ΖΕΒが任意に引かれたとせよ。 そこで、点Ζは円ΑΒΓの中心であるから、ΖΓは ΖΒに等しい。 また、点Ζは円ΓΔΕの中心であるから、ΖΓはΖΕに等しい。 しかしΖΓはΖΒに等しいと示された。
καὶ ἡ ΖΕ ἄρα τῇ ΖΒ ἐστιν ἴση, ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι·
したがってΖΕもまたΖΒに等しい、すなわち小さい方が大きい方に。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῶν ΑΒΓ, ΓΔΕ κύκλων.
したがって点Ζは円ΑΒΓ、ΓΔΕの中心ではない。
ἐὰν ἄρα δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων, οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον·
したがって、もし２つの円が互いに接するならば、それらの中心は同じではない。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきものであった。
§3.prop.7ἐὰν κύκλου ἐπὶ τῆς διαμέτρου ληφθῇ τι σημεῖον, ὃ μή ἐστι κέντρον τοῦ κύκλου, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσιν εὐθεῖαί τινες, μεγίστη μὲν ἔσται, ἐφʼ ἧς τὸ κέντρον, ἐλαχίστη δὲ ἡ λοιπή, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς διὰ τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίν, δύο δὲ μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ σημείου προσπεσοῦνται πρὸς τὸν κύκλον ἐφʼ ἑκάτερα τῆς ἐλαχίστης.
もし円の直径上にある点、すなわち円の中心ではない点、が取られ、その点から円へある直線が下りるならば、最大であるのは中心がある上の（直線）であり、最小であるのは残りの（直線）であり、その他のうちでは、中心を通る（直線）により近いものが常に遠いものより大きい。 また、その点から円へ、最小の（直線）の両側において、２つだけ等しい（直線）が下りるであろう。
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἔστω ἡ ΑΔ, καὶ ἐπὶ τῆς ΑΔ εἰλήφθω τι σημεῖον τὸ Ζ, ὃ μή ἐστι κέντρον τοῦ κύκλου, κέντρον δὲ τοῦ κύκλου ἔστω τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον προσπιπτέτωσαν εὐθεῖαί τινες αἱ ΖΒ, ΖΓ, ΖΗ·
円をΑΒΓΔとし、その直径をΑΔとし、ΑΔ上にある点Ζ、すなわち円の中心ではない点、が取られたとせよ。 また円の中心をΕとし、Ζから円ΑΒΓΔへ、ある直線ΖΒ、ΖΓ、ΖΗが下りるものとせよ。
λέγω, ὅτι μεγίστη μέν ἐστιν ἡ ΖΑ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΖΔ, τῶν δὲ ἄλλων ἡ μὲν ΖΒ τῆς ΖΓ μείζων, ἡ δὲ ΖΓ τῆς ΖΗ.
ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ, ΓΕ, ΗΕ. καὶ ἐπεὶ παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν, αἱ ἄρα ΕΒ, ΕΖ τῆς ΒΖ μείζονές εἰσιν.
私は、ΖΑが最大であり、ΖΔが最小であり、その他のうちでは、ΖΒがΖΓより大きく、 ΖΓがΖΗより大きいと主張する。 なぜなら、ΒΕ、ΓΕ、ΗΕが結ばれたとせよ。 そしてすべての三角形において、２つの辺は残りの辺より大きいから、ΕΒ、ΕΖはΒΖより大きい。
ἴση δὲ ἡ ΑΕ τῇ ΒΕ·
そしてΑΕはΒΕに等しい。
μείζων ἄρα ἡ ΑΖ τῆς ΒΖ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΓΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΖΕ, δύο δὴ αἱ ΒΕ, ΕΖ δυσὶ ταῖς ΓΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσίν.
したがってΑΖはΒΖより大きい。 また、ΒΕはΓΕに等しく、ΖΕは共通であるから、２つのΒΕ、ΕΖは２つのΓΕ、ΕΖに等しい。
ἀλλὰ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΕΖ γωνίας τῆς ὑπὸ ΓΕΖ μείζων.
しかし角ΒΕΖは角ΓΕΖよりも大きい。
βάσις ἄρα ἡ ΒΖ βάσεως τῆς ΓΖ μείζων ἐστίν.
したがって底辺ΒΖは底辺 ΓΖよりも大きい。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΗ μείζων ἐστίν.
これらと同じ理由により、ΓΖもまたΖΗより大きい。
πάλιν, ἐπεὶ αἱ ΗΖ, ΖΕ τῆς ΕΗ μείζονές εἰσιν, ἴση δὲ ἡ ΕΗ τῇ ΕΔ, αἱ ἄρα ΗΖ, ΖΕ τῆς ΕΔ μείζονές εἰσιν.
また、ΗΖ、ΖΕはΕΗより大きく、ΕΗはΕΔに等しいから、したがってΗΖ、ΖΕはΕΔより大きい。
κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΕΖ·
共通なΕΖが引かれたとせよ。
λοιπὴ ἄρα ἡ ΗΖ λοιπῆς τῆς ΖΔ μείζων ἐστίν.
したがって、残りのΗΖは残りのΖΔ より大きい。
μεγίστη μὲν ἄρα ἡ ΖΑ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΖΔ, μείζων δὲ ἡ μὲν ΖΒ τῆς ΖΓ, ἡ δὲ ΖΓ τῆς ΖΗ.
λέγω, ὅτι καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου δύο μόνον ἴσαι προσπεσοῦνται πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον ἐφʼ ἑκάτερα τῆς ΖΔ ἐλαχίστης.
したがって、ΖΑが最大であり、ΖΔが最小であり、ΖΒはΖΓより大きく、ΖΓはΖΗより大きい。 私はまた、点Ζから円ΑΒΓΔへ、最小のΖΔの両側において、２つだけ等しい（直線）が下りるであろうと主張する。
συνεστάτω γὰρ πρὸς τῇ ΕΖ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Ε τῇ ὑπὸ ΗΕΖ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΖΕΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΘ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΗΕ τῇ ΕΘ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΖ, δύο δὴ αἱ ΗΕ, ΕΖ δυσὶ ταῖς ΘΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσίν·
なぜなら、直線ΕΖとその上の点Εに対して、角ΗΕΖに等しい角ΖΕΘが作られ、ΖΘが結ばれたとせよ。 そこで、ΗΕはΕΘに等しく、ΕΖは共通であるから、２つのΗΕ、ΕΖは２つのΘΕ、ΕΖに等しい。
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΗΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΘΕΖ ἴση·
そして角ΗΕΖは角ΘΕΖに等しい。
βάσις ἄρα ἡ ΖΗ βάσει τῇ ΖΘ ἴση ἐστίν.
したがって底辺ΖΗは底辺ΖΘに等しい。
λέγω δή, ὅτι τῇ ΖΗ ἄλλη ἴση οὐ προσπεσεῖται πρὸς τὸν κύκλον ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου.
私はそこで、点Ζから円へ、ΖΗに等しい他の（直線）は下りることはないと主張する。
εἰ γὰρ δυνατόν, προσπιπτέτω ἡ ΖΚ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΖΚ τῇ ΖΗ ἴση ἐστίν, ἀλλὰ ἡ ΖΘ τῇ ΖΗ, καὶ ἡ ΖΚ ἄρα τῇ ΖΘ ἐστιν ἴση, ἡ ἔγγιον τῆς διὰ τοῦ κέντρου τῇ ἀπώτερον ἴση·
なぜなら、もし可能ならば、ΖΚが下りるものとせよ。 そして、ΖΚはΖΗに等しいが、ΖΘもΖΗに等しいから、したがってΖΚもまたΖΘに等しい、すなわち中心を通るものにより近いものが遠いものに等しいことになる。
ὅπερ ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου ἑτέρα τις προσπεσεῖται πρὸς τὸν κύκλον ἴση τῇ ΗΖ·
したがって点 Ζから円へ、ΗΖに等しい他の（直線）が下りることはないであろう。
μία ἄρα μόνη.
したがって１つだけである。
ἐὰν ἄρα κύκλου ἐπὶ τῆς διαμέτρου ληφθῇ τι σημεῖον, ὃ μή ἐστι κέντρον τοῦ κύκλου, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσιν εὐθεῖαί τινες, μεγίστη μὲν ἔσται, ἐφʼ ἧς τὸ κέντρον, ἐλαχίστη δὲ ἡ λοιπή, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς διὰ τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίν, δύο δὲ μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου προσπεσοῦνται πρὸς τὸν κύκλον ἐφʼ ἑκάτερα τῆς ἐλαχίστης·
したがって、もし円の直径上にある点、すなわち円の中心ではない点、が取られ、その点から円へある直線が下りるならば、最大であるのは中心がある上の（直線）であり、最小であるのは残りの（直線）であり、その他のうちでは、中心を通る（直線）により近いものが常に遠いものより大きい。 また、同じ点から円へ、最小の（直線）の両側において、２つだけ等しい（直線）が下りるであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきものであった。