§3.prop.37ἐὰν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι δύο εὐθεῖαι, καὶ ἡ μὲν αὐτῶν τέμνῃ τὸν κύκλον, ἡ δὲ προσπίπτῃ, ᾖ δὲ τὸ ὑπὸ ὅλης τῆς τεμνούσης καὶ τῆς ἐκτὸς ἀπολαμβανομένης μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς κυρτῆς περιφερείας ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς προσπιπτούσης, ἡ προσπίπτουσα ἐφάψεται τοῦ κύκλου.
若在圆外任取一点，且自该点向圆引两条直线，其中一条与圆相交，另一条落在圆上，若由整条割线以及在圆外被截在点与凸弧之间的部分所包围的矩形，等于以落在线为边的正方形，则该落在线与圆相切。
κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον προσπιπτέτωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΔΓΑ, ΔΒ, καὶ ἡ μὲν ΔΓΑ τεμνέτω τὸν κύκλον, ἡ δὲ ΔΒ προσπιπτέτω, ἔστω δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ. λέγω, ὅτι ἡ ΔΒ ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
因为设在圆 ΑΒΓ 外取一点 Δ，自 Δ 向圆 ΑΒΓ 引两条直线 ΔΓΑ、ΔΒ，设 ΔΓΑ 与圆相交，且 ΔΒ 落在圆上，并设由 ΑΔ、ΔΓ 所包围的矩形等于以 ΔΒ 为边的正方形；我说，ΔΒ 与圆 ΑΒΓ 相切。
ἤχθω γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτομένη ἡ ΔΕ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΕ, ΖΒ, ΖΔ. ἡ ἄρα ὑπὸ ΖΕΔ ὀρθή ἐστιν.
因为引圆 ΑΒΓ 的切线 ΔΕ，并求得圆 ΑΒΓ 的圆心，设其为 Ζ，连结 ΖΕ、ΖΒ、ΖΔ。 因此角 ΖΕΔ 是直角。
καὶ ἐπεὶ ἡ ΔΕ ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓ κύκλου, τέμνει δὲ ἡ ΔΓΑ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΕ. ἦν δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΔΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ· ἴση ἄρα ἡ ΔΕ τῇ ΔΒ. ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ΖΕ τῇ ΖΒ ἴση·
因为 ΔΕ 与圆 ΑΒΓ 相切，而 ΔΓΑ 与之相交，所以由 ΑΔ、ΔΓ 所包围的矩形等于以 ΔΕ 为边的正方形。 但是，由 ΑΔ、ΔΓ 所包围的矩形也等于以 ΔΒ 为边的正方形；因此以 ΔΕ 为边的正方形等于以 ΔΒ 为边的正方形；因此 ΔΕ 等于 ΔΒ。
δύο δὴ αἱ ΔΕ, ΕΖ δύο ταῖς ΔΒ, ΒΖ ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ ΖΔ· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΒΖ ἐστιν ἴση.
且 ΖΕ 也等于 ΖΒ；因此两条直线 ΔΕ、ΕΖ 分别等于两条直线 ΔΒ、ΒΖ；且它们的底边 ΖΔ 是公用的；因此角 ΔΕΖ 等于角 ΔΒΖ。
ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΔΕΖ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΖ. καί ἐστιν ἡ ΖΒ ἐκβαλλομένη διάμετρος· ἡ δὲ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένη ἐφάπτεται τοῦ κύκλου· ἡ ΔΒ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
而角 ΔΕΖ 是直角；因此角 ΔΒΖ 也是直角。 且 ΖΒ 的延长线是直径；而自圆的直径端点与其垂直引出的直线与圆相切；因此 ΔΒ 与圆 ΑΒΓ 相切。
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, κἂν τὸ κέντρον ἐπὶ τῆς ΑΓ τυγχάνῃ.
同样地，即使圆心恰好在 ΑΓ 上，也将予以证明。
ἐὰν ἄρα κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι δύο εὐθεῖαι, καὶ ἡ μὲν αὐτῶν τέμνῃ τὸν κύκλον, ἡ δὲ προσπίπτῃ, ᾖ δὲ τὸ ὑπὸ ὅλης τῆς τεμνούσης καὶ τῆς ἐκτὸς ἀπολαμβανομένης μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς κυρτῆς περιφερείας ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς προσπιπτούσης, ἡ προσπίπτουσα ἐφάψεται τοῦ κύκλου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，若在圆外任取一点，且自该点向圆引两条直线，其中一条与圆相交，另一条落在圆上，若由整条割线以及在圆外被截在点与凸弧之间的部分所包围的矩形，等于以落在线为边的正方形，则该落在线与圆相切；这就是所要证明的。