§3.prop.37ἐὰν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι δύο εὐθεῖαι, καὶ ἡ μὲν αὐτῶν τέμνῃ τὸν κύκλον, ἡ δὲ προσπίπτῃ, ᾖ δὲ τὸ ὑπὸ ὅλης τῆς τεμνούσης καὶ τῆς ἐκτὸς ἀπολαμβανομένης μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς κυρτῆς περιφερείας ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς προσπιπτούσης, ἡ προσπίπτουσα ἐφάψεται τοῦ κύκλου.
円の外にある点が取られ、その点から円に向かって2つの直線が引かれ、その一方が円と交わり、他方がただ到達し、割線全体と、点および凸な円周の間に外部で切り取られる線分によって囲まれる長方形が、到達する直線の上の正方形に等しいならば、その到達する直線は円に接するであろう。
κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον προσπιπτέτωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΔΓΑ, ΔΒ, καὶ ἡ μὲν ΔΓΑ τεμνέτω τὸν κύκλον, ἡ δὲ ΔΒ προσπιπτέτω, ἔστω δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ. λέγω, ὅτι ἡ ΔΒ ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
円 ΑΒΓ の外にある点 Δ が取られたとし、Δ から円 ΑΒΓ に向かって 2つの直線 ΔΓΑ, ΔΒ が引かれたとせよ。 そして ΔΓΑ は円を交わり、ΔΒ は到達するとし、ΑΔ, ΔΓ によって囲まれる長方形は ΔΒ の上の正方形に等しいとせよ。 私は言う、ΔΒ は円 ΑΒΓ に接すると。
ἤχθω γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτομένη ἡ ΔΕ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΕ, ΖΒ, ΖΔ. ἡ ἄρα ὑπὸ ΖΕΔ ὀρθή ἐστιν.
なぜなら、円 ΑΒΓ の接線 ΔΕ が引かれたとし、円 ΑΒΓ の中心が求められたとしてそれを Ζ とせよ。 そして ΖΕ, ΖΒ, ΖΔ が結ばれたとせよ。 したがって、角 ΖΕΔ は直角である。
καὶ ἐπεὶ ἡ ΔΕ ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓ κύκλου, τέμνει δὲ ἡ ΔΓΑ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΕ. ἦν δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ·
そして、ΔΕ は円 ΑΒΓ に接しており、ΔΓΑ は交わっているから、したがって ΑΔ, ΔΓ によって囲まれる長方形は ΔΕ の上の正方形に等しい。 しかし、ΑΔ, ΔΓ によって囲まれる長方形は ΔΒ の上の正方形にも等しかった。
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΔΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ·
したがって、ΔΕ の上の正方形は ΔΒ の上の正方形に等しい。
ἴση ἄρα ἡ ΔΕ τῇ ΔΒ. ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ΖΕ τῇ ΖΒ ἴση·
したがって ΔΕ は ΔΒ に等しい。 そしてまた ΖΕ も ΖΒ に等しい。
δύο δὴ αἱ ΔΕ, ΕΖ δύο ταῖς ΔΒ, ΒΖ ἴσαι εἰσίν·
ゆえに、2つの直線 ΔΕ, ΕΖ は、2つの直線 ΔΒ, ΒΖ にそれぞれ等しい。
καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ ΖΔ·
そしてそれらの底辺 ΖΔ は共通である。
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΒΖ ἐστιν ἴση.
したがって、角 ΔΕΖ は角 ΔΒΖ に等しい。
ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΔΕΖ·
そして角 ΔΕΖ は直角である。
ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΖ. καί ἐστιν ἡ ΖΒ ἐκβαλλομένη διάμετρος·
したがって、角 ΔΒΖ もまた直角である。 そして、ΖΒ の延長は直径である。
ἡ δὲ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένη ἐφάπτεται τοῦ κύκλου·
そして、円の直径の端からそれに垂直に引かれた直線は円に接する。
ἡ ΔΒ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
したがって、ΔΒ は円 ΑΒΓ に接する。
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, κἂν τὸ κέντρον ἐπὶ τῆς ΑΓ τυγχάνῃ.
同様にしてまた、中心が ΑΓ の上にある場合にも証明されるであろう。
ἐὰν ἄρα κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι δύο εὐθεῖαι, καὶ ἡ μὲν αὐτῶν τέμνῃ τὸν κύκλον, ἡ δὲ προσπίπτῃ, ᾖ δὲ τὸ ὑπὸ ὅλης τῆς τεμνούσης καὶ τῆς ἐκτὸς ἀπολαμβανομένης μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς κυρτῆς περιφερείας ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς προσπιπτούσης, ἡ προσπίπτουσα ἐφάψεται τοῦ κύκλου·
したがって、円の外にある点が取られ、その点から円に向かって2つの直線が引かれ、その一方が円と交わり、他方がただ到達し、割線全体と、点および凸な円周の間に外部で切り取られる線分によって囲まれる長方形が、到達する直線の上の正方形に等しいならば、その到達する直線は円に接するであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。