§3.prop.37ἐὰν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι δύο εὐθεῖαι, καὶ ἡ μὲν αὐτῶν τέμνῃ τὸν κύκλον, ἡ δὲ προσπίπτῃ, ᾖ δὲ τὸ ὑπὸ ὅλης τῆς τεμνούσης καὶ τῆς ἐκτὸς ἀπολαμβανομένης μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς κυρτῆς περιφερείας ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς προσπιπτούσης, ἡ προσπίπτουσα ἐφάψεται τοῦ κύκλου.
원 밖에 어떤 점이 잡히고, 그 점으로부터 원을 향해 두 직선이 그려져 그 중 하나는 원을 분할하고 다른 하나는 원에 도달하며, 할선 전체와 점 및 볼록한 원호 사이에 외부에서 잘린 선분으로 둘러싸인 직사각형이 도달선 위의 정사각형과 같다면, 그 도달선은 원에 접할 것이다.
κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον προσπιπτέτωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΔΓΑ, ΔΒ, καὶ ἡ μὲν ΔΓΑ τεμνέτω τὸν κύκλον, ἡ δὲ ΔΒ προσπιπτέτω, ἔστω δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ. λέγω, ὅτι ἡ ΔΒ ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
왜냐하면 원 ΑΒΓ의 밖에 어떤 점 Δ가 잡혔다고 하고, Δ로부터 원 ΑΒΓ를 향해 두 직선 ΔΓΑ, ΔΒ가 그려졌다고 하자. 그리고 ΔΓΑ는 원을 분할하고, ΔΒ는 도달한다고 하며, ΑΔ, ΔΓ로 둘러싸인 직사각형은 ΔΒ 위의 정사각형과 같다고 하자. 나는 ΔΒ가 원 ΑΒΓ에 접한다고 주장한다.
ἤχθω γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτομένη ἡ ΔΕ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΕ, ΖΒ, ΖΔ. ἡ ἄρα ὑπὸ ΖΕΔ ὀρθή ἐστιν.
왜냐하면 원 ΑΒΓ의 접선 ΔΕ가 그려졌다고 하고, 원 ΑΒΓ의 중심을 구하여 그것을 Ζ라 하며, ΖΕ, ΖΒ, ΖΔ가 연결되었다고 하자. 그러므로 각 ΖΕΔ는 직각이다.
καὶ ἐπεὶ ἡ ΔΕ ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓ κύκλου, τέμνει δὲ ἡ ΔΓΑ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΕ. ἦν δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ·
그리고 ΔΕ는 원 ΑΒΓ에 접하고 ΔΓΑ는 분할하므로, 따라서 ΑΔ, ΔΓ로 둘러싸인 직사각형은 ΔΕ 위의 정사각형과 같다. 그런데 ΑΔ, ΔΓ로 둘러싸인 직사각형은 ΔΒ 위의 정사각형과도 같았다.
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΔΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ·
그러므로 ΔΕ 위의 정사각형은 ΔΒ 위의 정사각형과 같다.
ἴση ἄρα ἡ ΔΕ τῇ ΔΒ. ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ΖΕ τῇ ΖΒ ἴση·
그러므로 ΔΕ는 ΔΒ와 같다. 그리고 ΖΕ도 ΖΒ와 같다.
δύο δὴ αἱ ΔΕ, ΕΖ δύο ταῖς ΔΒ, ΒΖ ἴσαι εἰσίν·
따라서 두 직선 ΔΕ, ΕΖ는 두 직선 ΔΒ, ΒΖ와 각각 같다.
καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ ΖΔ·
그리고 그들의 밑변 ΖΔ는 공통이다.
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΒΖ ἐστιν ἴση.
그러므로 각 ΔΕΖ는 각 ΔΒΖ와 같다.
ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΔΕΖ·
그런데 각 ΔΕΖ는 직각이다.
ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΖ. καί ἐστιν ἡ ΖΒ ἐκβαλλομένη διάμετρος·
그러므로 각 ΔΒΖ도 직각이다. 그리고 ΖΒ의 연장선은 지름이다.
ἡ δὲ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένη ἐφάπτεται τοῦ κύκλου·
그런데 원의 지름의 끝에서 그것에 수직으로 그려진 직선은 원에 접한다.
ἡ ΔΒ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
그러므로 ΔΒ는 원 ΑΒΓ에 접한다.
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, κἂν τὸ κέντρον ἐπὶ τῆς ΑΓ τυγχάνῃ.
마찬가지로, 중심이 ΑΓ 위에 있는 경우에도 증명될 것이다.
ἐὰν ἄρα κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι δύο εὐθεῖαι, καὶ ἡ μὲν αὐτῶν τέμνῃ τὸν κύκλον, ἡ δὲ προσπίπτῃ, ᾖ δὲ τὸ ὑπὸ ὅλης τῆς τεμνούσης καὶ τῆς ἐκτὸς ἀπολαμβανομένης μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς κυρτῆς περιφερείας ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς προσπιπτούσης, ἡ προσπίπτουσα ἐφάψεται τοῦ κύκλου·
그러므로 원 밖에 어떤 점이 잡히고, 그 점으로부터 원을 향해 두 직선이 그려져 그 중 하나는 원을 분할하고 다른 하나는 원에 도달하며, 할선 전체와 점 및 볼록한 원호 사이에 외부에서 잘린 선분으로 둘러싸인 직사각형이 도달선 위의 정사각형과 같다면, 그 도달선은 원에 접할 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.