§3.prop.36ἐὰν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι δύο εὐθεῖαι, καὶ ἡ μὲν αὐτῶν τέμνῃ τὸν κύκλον, ἡ δὲ ἐφάπτηται, ἔσται τὸ ὑπὸ ὅλης τῆς τεμνούσης καὶ τῆς ἐκτὸς ἀπολαμβανομένης μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς κυρτῆς περιφερείας ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης τετραγώνῳ.
若在圆外任取一点，且自该点向圆引两条直线，其中一条与圆相交，另一条与圆相切，则由整条割线以及在圆外被截在点与凸弧之间的部分所包围的矩形，等于以切线为边的正方形。
κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον προσπιπτέτωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΔΓ, ΔΒ· καὶ ἡ μὲν ΔΓΑ τεμνέτω τὸν ΑΒΓ κύκλον, ἡ δὲ ΒΔ ἐφαπτέσθω· λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ τετραγώνῳ.
因为设在圆 ΑΒΓ 外取一点 Δ，自 Δ 向圆 ΑΒΓ 引两条直线 ΔΓ、ΔΒ；设 ΔΓΑ 与圆 ΑΒΓ 相交，且 ΒΔ 与之相切；我说，由 ΑΔ、ΔΓ 所包围的矩形等于以 ΔΒ 为边的正方形。
ἡ ἄρα ΓΑ ἤτοι διὰ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἢ οὔ.
因此，ΓΑ 要么通过圆心，要么不通过。
ἔστω πρότερον διὰ τοῦ κέντρου, καὶ ἔστω τὸ Ζ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ·
首先，设它通过圆心，且设 Ζ 为圆 ΑΒΓ 的圆心，连结 ΖΒ；因此角 ΖΒΔ 是直角。
ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΒΔ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΑΓ δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Ζ, πρόσκειται δὲ αὐτῇ ἡ ΓΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ. ἴση δὲ ἡ ΖΓ τῇ ΖΒ·
因为直线 ΑΓ 在 Ζ 处被二等分，且其外接有 ΓΔ，所以由 ΑΔ、ΔΓ 所包围的矩形加上以 ΖΓ 为边的正方形，等于以 ΖΔ 为边的正方形。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΖΔ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΖΒ, ΒΔ·
且 ΖΓ 等于 ΖΒ；因此由 ΑΔ、ΔΓ 所包围的矩形加上以 ΖΒ 为边的正方形，等于以 ΖΔ 为边的正方形。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΒ, ΒΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΒ·
而在以 ΖΔ 为边的正方形中，等于以 ΖΒ、ΒΔ 为边的正方形之和；因此由 ΑΔ、ΔΓ 所包围的矩形加上以 ΖΒ 为边的正方形，等于以 ΖΒ、ΒΔ 为边的正方形之和。
λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ ἐφαπτομένης.
减去公用的以 ΖΒ 为边的正方形；因此余下的由 ΑΔ、 ΔΓ 所包围的矩形等于以切线 ΔΒ 为边的正方形。
ἀλλὰ δὴ ἡ ΔΓΑ μὴ ἔστω διὰ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἤχθω ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΒ, ΕΓ, ΕΔ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΒΔ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΕΖ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΓ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει·
现在，设 ΔΓΑ 不通过圆 ΑΒΓ 的圆心，求得圆心为 Ε，并自 Ε 向 ΑΓ 引垂线 ΕΖ，连结 ΕΒ、ΕΓ、ΕΔ；因此角 ΕΒΔ 是直角。
ἡ ΑΖ ἄρα τῇ ΖΓ ἐστιν ἴση.
因为通过圆心的直线 ΕΖ 垂直于不通过圆心的直线 ΑΓ，所以它也将它二等分；因此 ΑΖ 等于 ΖΓ。
καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΑΓ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ Ζ σημεῖον, πρόσκειται δὲ αὐτῇ ἡ ΓΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ·
因为直线 ΑΓ 在点 Ζ 处被二等分，且其外接有 ΓΔ，所以由 ΑΔ、ΔΓ 所包围的矩形加上以 ΖΓ 为边的正方形，等于以 ΖΔ 为边的正方形。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΕ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΔ, ΖΕ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ·
加上公用的以 ΖΕ 为边的正方形；因此由 ΑΔ、ΔΓ 所包围的矩形加上以 ΓΖ、ΖΕ 为边的正方形之和，等于以 ΖΔ、ΖΕ 为边的正方形之和。
ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΕΖΓ· τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΔΖ, ΖΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΔ. ἴση δὲ ἡ ΕΓ τῇ ΕΒ·
但是，以 ΓΖ、ΖΕ 为边的正方形之和等于以 ΕΓ 为边的正方形（因为角 ΕΖΓ 是直角），而以 ΔΖ、ΖΕ 为边的正方形之和等于以 ΕΔ 为边的正方形；因此由 ΑΔ、ΔΓ 所包围的矩形加上以 ΕΓ 为边的正方形，等于以 ΕΔ 为边的正方形。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΔ. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΕΔ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΒ, ΒΔ·
且 ΕΓ 等于 ΕΒ；因此由 ΑΔ、ΔΓ 所包围的矩形加上以 ΕΒ 为边的正方形，等于以 ΕΔ 为边的正方形。
ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΕΒΔ γωνία· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΒ, ΒΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ·
而在以 ΕΔ 为边的正方形中，等于以 ΕΒ、ΒΔ 为边的正方形之和，因为角 ΕΒΔ 是直角；因此由 ΑΔ、ΔΓ 所包围的矩形加上以 ΕΒ 为边的正方形，等于以 ΕΒ、ΒΔ 为边的正方形之和。
λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ.
ἐὰν ἄρα κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι δύο εὐθεῖαι, καὶ ἡ μὲν αὐτῶν τέμνῃ τὸν κύκλον, ἡ δὲ ἐφάπτηται, ἔσται τὸ ὑπὸ ὅλης τῆς τεμνούσης καὶ τῆς ἐκτὸς ἀπολαμβανομένης μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς κυρτῆς περιφερείας ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης τετραγώνῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
减去公用的以 ΕΒ 为边的正方形；因此余下的由 ΑΔ、ΔΓ 所包围的矩形等于以 ΔΒ 为边的正方形。 因此，若在圆外任取一点，且自该点向圆引两条直线，其中一条与圆相交，另一条与圆相切，则由整条割线以及在圆外被截在点与凸弧之间的部分所包围的矩形，等于以切线为边的正方形；这就是所要证明的。