§3.prop.36ἐὰν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι δύο εὐθεῖαι, καὶ ἡ μὲν αὐτῶν τέμνῃ τὸν κύκλον, ἡ δὲ ἐφάπτηται, ἔσται τὸ ὑπὸ ὅλης τῆς τεμνούσης καὶ τῆς ἐκτὸς ἀπολαμβανομένης μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς κυρτῆς περιφερείας ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης τετραγώνῳ.
원 밖에 어떤 점이 잡히고, 그 점으로부터 원을 향해 두 직선이 그려져 그 중 하나는 원을 분할하고 다른 하나는 접한다면, 할선 전체와 점 및 볼록한 원호 사이에 외부에서 잘린 선분으로 둘러싸인 직사각형은 접선 위의 정사각형과 같다.
κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον προσπιπτέτωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΔΓ, ΔΒ·
왜냐하면 원 ΑΒΓ의 밖에 어떤 점 Δ가 잡혔다고 하고, Δ로부터 원 ΑΒΓ를 향해 두 직선 ΔΓ, ΔΒ가 그려졌다고 하자.
καὶ ἡ μὲν ΔΓΑ τεμνέτω τὸν ΑΒΓ κύκλον, ἡ δὲ ΒΔ ἐφαπτέσθω·
그리고 ΔΓΑ는 원 ΑΒΓ를 분할하고, ΒΔ는 접한다고 하자.
λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ τετραγώνῳ.
나는 ΑΔ, ΔΓ로 둘러싸인 직사각형이 ΔΒ 위의 정사각형과 같다고 주장한다.
ἡ ἄρα ΓΑ ἤτοι διὰ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἢ οὔ.
그러므로 ΓΑ는 중심을 지나거나 지나지 않거나 둘 중 하나이다.
ἔστω πρότερον διὰ τοῦ κέντρου, καὶ ἔστω τὸ Ζ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ·
먼저 중심을 지난다고 하고, Ζ를 원 ΑΒΓ의 중심이라 하며, ΖΒ가 연결되었다고 하자.
ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΒΔ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΑΓ δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Ζ, πρόσκειται δὲ αὐτῇ ἡ ΓΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ. ἴση δὲ ἡ ΖΓ τῇ ΖΒ·
그러므로 각 ΖΒΔ는 직각이다. 그리고 직선 ΑΓ가 Ζ에서 이등분되어 있고, 거기에 ΓΔ가 덧붙여져 있으므로, ΑΔ, ΔΓ로 둘러싸인 직사각형에 ΖΓ 위의 정사각형을 더한 것은 ΖΔ 위의 정사각형과 같다. 그리고 ΖΓ는 ΖΒ와 같다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΖΔ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΖΒ, ΒΔ·
그러므로 ΑΔ, ΔΓ로 둘러싸인 직사각형에 ΖΒ 위의 정사각형을 더한 것은 ΖΔ 위의 정사각형과 같다. 그리고 ΖΔ 위의 정사각형에는 ΖΒ, ΒΔ 위의 정사각형들의 합이 같다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΒ, ΒΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΒ·
그러므로 ΑΔ, ΔΓ로 둘러싸인 직사각형에 ΖΒ 위의 정사각형을 더한 것은 ΖΒ, ΒΔ 위의 정사각형들의 합과 같다. 공통으로 ΖΒ 위의 정사각형이 빠졌다고 하자.
λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ ἐφαπτομένης.
그러므로 남은 ΑΔ, ΔΓ로 둘러싸인 직사각형은 접선 ΔΒ 위의 정사각형과 같다.
ἀλλὰ δὴ ἡ ΔΓΑ μὴ ἔστω διὰ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἤχθω ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΒ, ΕΓ, ΕΔ·
이제 ΔΓΑ가 원 ΑΒΓ의 중심을 지나지 않는다고 하고, 그 중심을 구하여 그것을 Ε라 하자. 그리고 Ε로부터 ΑΓ에 수선 ΕΖ가 그려졌다고 하고, ΕΒ, ΕΓ, ΕΔ가 연결되었다고 하자.
ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΒΔ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΕΖ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΓ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει·
그러므로 각 ΕΒΔ는 직각이다. 그리고 중심을 지나는 어떤 직선 ΕΖ가 중심을 지나지 않는 어떤 직선 ΑΓ를 수직으로 교차하므로, 그것은 또한 그것을 이등분한다.
ἡ ΑΖ ἄρα τῇ ΖΓ ἐστιν ἴση.
그러므로 ΑΖ는 ΖΓ와 같다.
καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΑΓ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ Ζ σημεῖον, πρόσκειται δὲ αὐτῇ ἡ ΓΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ·
그리고 직선 ΑΓ가 점 Ζ에서 이등분되어 있고, 거기에 ΓΔ가 덧붙여져 있으므로, ΑΔ, ΔΓ로 둘러싸인 직사각형에 ΖΓ 위의 정사각형을 더한 것은 ΖΔ 위의 정사각형과 같다. 공통으로 ΖΕ 위의 정사각형이 더해졌다고 하자.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΕ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΔ, ΖΕ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ·
그러면 ΑΔ, ΔΓ로 둘러싸인 직사각형에 ΓΖ, ΖΕ 위의 정사각형들을 더한 것은 ΖΔ, ΖΕ 위의 정사각형들의 합과 같다.
ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΕΖΓ· τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΔΖ, ΖΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ·
그런데 ΓΖ, ΖΕ 위의 정사각형들의 합은 ΕΓ 위의 정사각형과 같고(왜냐하면 각 ΕΖΓ는 직각이기 때문이다), ΔΖ, ΖΕ 위의 정사각형들의 합은 ΕΔ 위의 정사각형과 같다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΔ. ἴση δὲ ἡ ΕΓ τῇ ΕΒ·
그러므로 ΑΔ, ΔΓ로 둘러싸인 직사각형에 ΕΓ 위의 정사각형을 더한 것은 ΕΔ 위의 정사각형과 같다. 그리고 ΕΓ는 ΕΒ와 같다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΔ. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΕΔ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΒ, ΒΔ· ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΕΒΔ γωνία·
그러므로 ΑΔ, ΔΓ로 둘러싸인 직사각형에 ΕΒ 위의 정사각형을 더한 것은 ΕΔ 위의 정사각형과 같다. 그리고 ΕΔ 위의 정사각형에는 ΕΒ, ΒΔ 위의 정사각형들의 합이 같다(왜냐하면 각 ΕΒΔ는 직각이기 때문이다).
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΒ, ΒΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ·
그러므로 ΑΔ, ΔΓ로 둘러싸인 직사각형에 ΕΒ 위의 정사각형을 더한 것은 ΕΒ, ΒΔ 위의 정사각형들의 합과 같다. 공통으로 ΕΒ 위의 정사각형이 빠졌다고 하자.
λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ.
ἐὰν ἄρα κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι δύο εὐθεῖαι, καὶ ἡ μὲν αὐτῶν τέμνῃ τὸν κύκλον, ἡ δὲ ἐφάπτηται, ἔσται τὸ ὑπὸ ὅλης τῆς τεμνούσης καὶ τῆς ἐκτὸς ἀπολαμβανομένης μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς κυρτῆς περιφερείας ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης τετραγώνῳ·
그러므로 남은 ΑΔ, ΔΓ로 둘러싸인 직사각형은 ΔΒ 위의 정사각형과 같다. 그러므로 원 밖에 어떤 점이 잡히고, 그 점으로부터 원을 향해 두 직선이 그려져 그 중 하나는 원을 분할하고 다른 하나는 접한다면, 할선 전체와 점 및 볼록한 원호 사이에 외부에서 잘린 선분으로 둘러싸인 직사각형은 접선 위의 정사각형과 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.