§3.prop.34ἀπὸ τοῦ δοθέντος κύκλου τμῆμα ἀφελεῖν δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.
在给定的圆上，切去一弓形，使它所含的角等于给定的直线角。
ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ πρὸς τῷ Δ· δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου τμῆμα ἀφελεῖν δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ τῇ πρὸς τῷ Δ.
ἤχθω τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτομένη ἡ ΕΖ κατὰ τὸ Β σημεῖον, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΖΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Β τῇ πρὸς τῷ Δ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΖΒΓ.
ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἐφάπτεταί τις εὐθεῖα ἡ ΕΖ, καὶ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Β ἐπαφῆς διῆκται ἡ ΒΓ, ἡ ὑπὸ ΖΒΓ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ΒΑΓ ἐναλλὰξ τμήματι συνισταμένῃ γωνίᾳ.
设给定的圆为 ΑΒΓ，给定的直线角为在 Δ 处的角；那么，必须自圆 ΑΒΓ 切去一弓形，使它所含的角等于在 Δ 处的给定的直线角。 设自点 Β 引 ΑΒΓ 的切线 ΕΖ，并在直线 ΖΒ 及其上的点 Β 处，作等于在 Δ 处的角角 ΖΒΓ。 因为直线 ΕΖ 切圆 ΑΒΓ，且自点 Β 处的切点引了直线 ΒΓ；所以角 ΖΒΓ 等于在交错弓形 ΒΑΓ 内所建的角。
ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΖΒΓ τῇ πρὸς τῷ Δ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ἐν τῷ ΒΑΓ ἄρα τμήματι ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Δ.
但角 ΖΒΓ 等于在 Δ 处的角；因此在弓形 ΒΑΓ 内的角也等于在 Δ 处的角。
ἀπὸ τοῦ δοθέντος ἄρα κύκλου τοῦ ΑΒΓ τμῆμα ἀφῄρηται τὸ ΒΑΓ δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ τῇ πρὸς τῷ Δ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
因此，自给定的圆 ΑΒΓ 上，已切去了一弓形 ΒΑΓ，使它所含的角等于在 Δ 处的给定的直线角；这就是所要做的事。
§3.prop.35ἐὰν ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, τὸ ὑπὸ τῶν τῆς μιᾶς τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν τῆς ἑτέρας τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
若在圆内两条直线互相交会，则由其中一条直线的两个分段所包围的矩形等于由另一条直线的两个分段所包围的矩形。
ἐν γὰρ κύκλῳ τῷ ΑΒΓΔ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΒΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε σημεῖον· λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
因为在圆 ΑΒΓΔ 内，设两条直线 ΑΓ、ΒΔ 在点 Ε 处互相交会；我说，由 ΑΕ、ΕΓ 所包围的矩形等于由 ΔΕ、ΕΒ 所包围的矩形。
εἰ μὲν οὖν αἱ ΑΓ, ΒΔ διὰ τοῦ κέντρου εἰσὶν ὥστε τὸ Ε κέντρον εἶναι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, φανερόν, ὅτι ἴσων οὐσῶν τῶν ΑΕ, ΕΓ, ΔΕ, ΕΒ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
如果 ΑΓ、ΒΔ 通过圆心，以致 Ε 是圆 ΑΒΓΔ 的圆心，那么显然，由于 ΑΕ、ΕΓ、ΔΕ、ΕΒ 相等，由 ΑΕ、ΕΓ 所包围的矩形也等于由 ΔΕ、 ΕΒ 所包围的矩形。
μὴ ἔστωσαν δὴ αἱ ΑΓ, ΔΒ διὰ τοῦ κέντρου, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓΔ, καὶ ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὰς ΑΓ, ΔΒ εὐθείας κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΖΗ, ΖΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ, ΖΓ, ΖΕ.
καὶ ἐπεὶ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΗΖ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΓ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει· ἴση ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΗΓ. ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΑΓ τέτμηται εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Η, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Ε, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΗ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΓ· προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΗΖ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΗΕ, ΗΖ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΗ, ΗΖ. ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΖ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ, τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΓΗ, ΗΖ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΓ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΓ. ἴση δὲ ἡ ΖΓ τῇ ΖΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
现在，设 ΑΓ、ΔΒ 不通过圆心，且求得 ΑΒΓΔ 的圆心，设它为 Ζ，并自 Ζ 向直线 ΑΓ、ΔΒ 引垂线 ΖΗ、ΖΘ，且连结 ΖΒ、ΖΓ、 ΖΕ。 由于通过圆心的直线 ΗΖ 垂直平分不通过圆心的直线 ΑΓ，因此 ΑΗ 等于 ΗΓ。 因为直线 ΑΓ 在 Η 处被二等分，在 Ε 处被分为不相等的两部分，因此由 ΑΕ、ΕΓ 所包围的矩形加上 ΕΗ 上的正方形等于 ΗΓ 上的正方形；设加上 ΗΖ 上的正方形；因此由 ΑΕ、ΕΓ 所包围的矩形加上 ΗΕ、ΗΖ 上的正方形等于 ΓΗ、ΗΖ 上的正方形。 但是，ΕΗ、ΗΖ 上的正方形之和等于 ΖΕ 上的正方形，而 ΓΗ、ΗΖ 上的正方形之和等于 ΖΓ 上的正方形；因此由 ΑΕ、ΕΓ 所包围的矩形加上 ΖΕ 上的正方形等于 ΖΓ 上的正方形。 且 ΖΓ 等于 ΖΒ；因此由 ΑΕ、ΕΓ 所包围的矩形加上 ΕΖ 上的正方形等于 ΖΒ 上的正方形。 由于同样的原因，由 ΔΕ、ΕΒ 所包围的矩形加上 ΖΕ 上的正方形也等于 ΖΒ 上的正方形。 而由 ΑΕ、ΕΓ 所包围的矩形加上 ΖΕ 上的正方形也被证明等于 ΖΒ 上的正方形；因此由 ΑΕ、ΕΓ 所包围的矩形加上 ΖΕ 上的正方形等于由 ΔΕ、ΕΒ 所包围的矩形加上 ΖΕ 上的正方形。 减去公用的 ΖΕ 上的正方形；因此余下的由 ΑΕ、ΕΓ 所包围的矩形等于由 ΔΕ、ΕΒ 所包围的矩形。
ἐὰν ἄρα ἐν κύκλῳ εὐθεῖαι δύο τέμνωσιν ἀλλήλας, τὸ ὑπὸ τῶν τῆς μιᾶς τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν τῆς ἑτέρας τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，若在圆内两条直线互相交会，则由其中一条直线的两个分段所包围的矩形等于由另一条直线的两个分段所包围的矩形；这就是所要证明的。