§3.prop.36ἐὰν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι δύο εὐθεῖαι, καὶ ἡ μὲν αὐτῶν τέμνῃ τὸν κύκλον, ἡ δὲ ἐφάπτηται, ἔσται τὸ ὑπὸ ὅλης τῆς τεμνούσης καὶ τῆς ἐκτὸς ἀπολαμβανομένης μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς κυρτῆς περιφερείας ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης τετραγώνῳ.
円の外にある点が取られ、そこから円に向かって2つの直線が引かれ、その一方が円を交わり、他方が接するならば、割線全体と、点および凸な円周の間に外部で切り取られる線分によって囲まれる長方形は、接線の上に作られる正方形に等しい。
κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον προσπιπτέτωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΔΓ, ΔΒ·
円 ΑΒΓ の外にある点 Δ が取られたとし、Δ から円 ΑΒΓ に向かって2つの直線 ΔΓ, ΔΒ が引かれたとせよ。
καὶ ἡ μὲν ΔΓΑ τεμνέτω τὸν ΑΒΓ κύκλον, ἡ δὲ ΒΔ ἐφαπτέσθω·
そして ΔΓΑ は円 ΑΒΓ を交わり、ΒΔ は接するとせよ。
λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ τετραγώνῳ.
私は言う、ΑΔ, ΔΓ によって囲まれる長方形は、ΔΒ の上の正方形に等しいと。
ἡ ἄρα ΓΑ ἤτοι διὰ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἢ οὔ.
したがって、ΓΑ は中心を通るか、通らないかのいずれかである。
ἔστω πρότερον διὰ τοῦ κέντρου, καὶ ἔστω τὸ Ζ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ·
まず中心を通るとし、 Ζ を円 ΑΒΓ の中心とし、ΖΒ が結ばれたとせよ。
ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΒΔ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΑΓ δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Ζ, πρόσκειται δὲ αὐτῇ ἡ ΓΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ. ἴση δὲ ἡ ΖΓ τῇ ΖΒ·
したがって、角 ΖΒΔ は直角である。 そして、直線 ΑΓ が Ζ において2等分されており、それに ΓΔ が付け加えられているから、したがって、ΑΔ, ΔΓ によって囲まれる長方形に ΖΓ の上の正方形を加えたものは、ΖΔ の上の正方形に等しい。 そして ΖΓ は ΖΒ に等しい。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΖΔ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΖΒ, ΒΔ·
したがって、ΑΔ, ΔΓ によって囲まれる長方形に ΖΒ の上の正方形を加えたものは、ΖΔ の上の正方形に等しい。 そして、ΖΔ の上の正方形には ΖΒ, ΒΔ の上の正方形の和が等しい。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΒ, ΒΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΒ·
したがって、ΑΔ, ΔΓ によって囲まれる長方形に ΖΒ の上の正方形を加えたものは、ΖΒ, ΒΔ の上の正方形の和に等しい。 共通のものとして ΖΒ の上の正方形が引かれたとせよ。
λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ ἐφαπτομένης.
したがって残りの、ΑΔ, ΔΓ によって囲まれる長方形は、接線 ΔΒ の上の正方形に等しい。
ἀλλὰ δὴ ἡ ΔΓΑ μὴ ἔστω διὰ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἤχθω ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΒ, ΕΓ, ΕΔ·
さて、ΔΓΑ が円 ΑΒΓ の中心を通っていないとせよ。 そして中心が求められたとし、それを Ε とせよ。 そして Ε から ΑΓ に対し垂線 ΕΖ が引かれたとし、ΕΒ, ΕΓ, ΕΔ が結ばれたとせよ。
ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΒΔ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΕΖ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΓ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει·
したがって、角 ΕΒΔ は直角である。 そして、中心を通るある直線 ΕΖ が、中心を通らないある直線 ΑΓ を垂直に交わっているから、それはまたそれを2等分する。
ἡ ΑΖ ἄρα τῇ ΖΓ ἐστιν ἴση.
したがって ΑΖ は ΖΓ に等しい。
καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΑΓ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ Ζ σημεῖον, πρόσκειται δὲ αὐτῇ ἡ ΓΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ·
そして、直線 ΑΓ が点 Ζ において2等分されており、それに ΓΔ が付け加えられているから、したがって、ΑΔ, ΔΓ によって囲まれる長方形に ΖΓ の上の正方形を加えたものは、ΖΔ の上の正方形に等しい。 共通のものとして ΖΕ の上の正方形が加えられたとせよ。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΕ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΔ, ΖΕ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ· ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΕΖΓ·
すると、ΑΔ, ΔΓ によって囲まれる長方形に ΓΖ, ΖΕ の上の正方形を加えたものは、ΖΔ, ΖΕ の上の正方形の和に等しい。 ところが、ΓΖ, ΖΕ の上の正方形には ΕΓ の上の正方形が等しい（なぜなら角 ΕΖΓ は直角だからである）。
τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΔΖ, ΖΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ·
また、ΔΖ, ΖΕ の上の正方形には ΕΔ の上の正方形が等しい。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΔ. ἴση δὲ ἡ ΕΓ τῇ ΕΒ·
したがって、ΑΔ, ΔΓ によって囲まれる長方形に ΕΓ の上の正方形を加えたものは、ΕΔ の上の正方形に等しい。 そして ΕΓ は ΕΒ に等しい。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΔ. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΕΔ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΒ, ΒΔ· ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΕΒΔ γωνία·
したがって、ΑΔ, ΔΓ によって囲まれる長方形に ΕΒ の上の正方形を加えたものは、ΕΔ の上の正方形に等しい。 そして、ΕΔ の上の正方形には ΕΒ, ΒΔ の上の正方形の和が等しい（なぜなら角 ΕΒΔ は直角だからである）。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΒ, ΒΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ·
したがって、ΑΔ, ΔΓ によって囲まれる長方形に ΕΒ の上の正方形を加えたものは、ΕΒ, ΒΔ の上の正方形の和に等しい。 共通のものとして ΕΒ の上の正方形が引かれたとせよ。
λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ.
ἐὰν ἄρα κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι δύο εὐθεῖαι, καὶ ἡ μὲν αὐτῶν τέμνῃ τὸν κύκλον, ἡ δὲ ἐφάπτηται, ἔσται τὸ ὑπὸ ὅλης τῆς τεμνούσης καὶ τῆς ἐκτὸς ἀπολαμβανομένης μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς κυρτῆς περιφερείας ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης τετραγώνῳ·
したがって残りの、ΑΔ, ΔΓ によって囲まれる長方形は、ΔΒ の上の正方形に等しい。 したがって、円の外にある点が取られ、そこから円に向かって2つの直線が引かれ、その一方が円を交わり、他方が接するならば、割線全体と、点および凸な円周の間に外部で切り取られる線分によって囲まれる長方形は、接線の上に作られる正方形に等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。