§3.prop.33ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας γράψαι τμῆμα κύκλου δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.
在给定的直线上，作一圆弓形，使它所含的角等于给定的直线角。
ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ πρὸς τῷ Γ· δεῖ δὴ ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας τῆς ΑΒ γράψαι τμῆμα κύκλου δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ πρὸς τῷ Γ.
ἡ δὴ πρὸς τῷ Γ ἤτοι ὀξεῖά ἐστιν ἢ ὀρθὴ ἢ ἀμβλεῖα·
设给定的直线为 ΑΒ，给定的直线角为在 Γ 处的角；那么，必须在给定的直线 ΑΒ 上，作一圆弓形，使它所含的角等于在 Γ 处的角。 在 Γ 处的角或者是锐角，或者是直角，或者是钝角。
ἔστω πρότερον ὀξεῖα, καὶ ὡς ἐπὶ τῆς πρώτης καταγραφῆς συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ α σημείῳ τῇ πρὸς τῷ Γ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΔ· ὀξεῖα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ. ἤχθω τῇ ΔΑ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΕ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΒ.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΖΗ, δύο δὴ αἱ ΑΖ, ΖΗ δύο ταῖς ΒΖ, ΖΗ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΖΗ τῇ ὑπὸ ΒΖΗ ἴση·
设它首先是锐角，如第一幅图所示，在直线 ΑΒ 和点 Α 处，作等于在 Γ 处的角的角 ΒΑΔ；因此角 ΒΑΔ 也是锐角。 设自 ΔΑ 引垂直的 ΑΕ，把 ΑΒ 在 Ζ 点二等分，自点 Ζ 引垂直于 ΑΒ 的 ΖΗ，且连结 ΗΒ。 由于 ΑΖ 等于 ΖΒ，且 ΖΗ 是公共的，因此两条直线 ΑΖ、ΖΗ 分别等于两条直线 ΒΖ、ΖΗ；并且角 ΑΖΗ 等于角 ΒΖΗ；所以底边 ΑΗ 等于底边 ΒΗ。
βάσις ἄρα ἡ ΑΗ βάσει τῇ ΒΗ ἴση ἐστίν. ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ Η διαστήματι δὲ τῷ ΗΑ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Β. γεγράφθω καὶ ἔστω ὁ ΑΒΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΒ. ἐπεὶ οὖν ἀπʼ ἄκρας τῆς ΑΕ διαμέτρου ἀπὸ τοῦ Α τῇ ΑΕ πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἡ ΑΔ, ἡ ΑΔ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΕ κύκλου·
因此以 Η 为圆心，ΗΑ 为半径作的圆也将经过点 Β。 设它已被作出来，且为 ΑΒΕ，连结 ΕΒ。 因为自直径 ΑΕ 的端点 Α，ΑΔ 垂直于 ΑΕ，所以 ΑΔ 切圆 ΑΒΕ。
ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΑΒΕ ἐφάπτεταί τις εὐθεῖα ἡ ΑΔ, καὶ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Α ἁφῆς εἰς τὸν ΑΒΕ κύκλον διῆκταί τις εὐθεῖα ἡ ΑΒ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΔΑΒ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ. ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΔΑΒ τῇ πρὸς τῷ Γ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ πρὸς τῷ Γ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ.
ἐπὶ τῆς δοθείσης ἄρα εὐθείας τῆς ΑΒ τμῆμα κύκλου γέγραπται τὸ ΑΕΒ δεχόμενον γωνίαν τὴν ὑπὸ ΑΕΒ ἴσην τῇ δοθείσῃ τῇ πρὸς τῷ Γ.
ἀλλὰ δὴ ὀρθὴ ἔστω ἡ πρὸς τῷ Γ· καὶ δέον πάλιν ἔστω ἐπὶ τῆς ΑΒ γράψαι τμῆμα κύκλου δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ πρὸς τῷ Γ ὀρθῇ.
又因为直线 ΑΔ 切圆 ΑΒΕ，且自切点 Α 引直线 ΑΒ 交圆 ΑΒΕ，所以角 ΔΑΒ 等于该圆交错弓形内的角 ΑΕΒ。 但角 ΔΑΒ 等于在 Γ 处的角；因此在 Γ 处的角也等于角 ΑΕΒ。 因此，在给定的直线 ΑΒ 上，已作了一圆弓形 ΑΕΒ，使它所含的角 ΑΕΒ 等于给定的在 Γ 处的角。 接着，设在 Γ 处的角是直角；并再次要求在 ΑΒ 上作一圆弓形，使它所含的角等于在 Γ 处的直角。
συνεστάτω τῇ πρὸς τῷ Γ ὀρθῇ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΔ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ κέντρῳ τῷ Ζ, διαστήματι δὲ ὁποτέρῳ τῶν ΖΑ, ΖΒ, κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΕΒ.
ἐφάπτεται ἄρα ἡ ΑΔ εὐθεῖα τοῦ ΑΒΕ κύκλου διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τὴν πρὸς τῷ Α γωνίαν.
如第二幅图所示，作等于在 Γ 处的直角的角 ΒΑΔ，并把 ΑΒ 在 Ζ 点二等分，以 Ζ 为圆心，ΖΑ、ΖΒ 之一为半径，作一圆 ΑΕΒ。 因此，直线 ΑΔ 切圆 ΑΒΕ，因为在 Α 处的角是直角。
καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΔ γωνία τῇ ἐν τῷ ΑΕΒ τμήματι· ὀρθὴ γὰρ καὶ αὐτὴ ἐν ἡμικυκλίῳ οὖσα.
且角 ΒΑΔ 等于在弓形 ΑΕΒ 内的角；因为这个角本身也是在半圆内，因抗是直角。
ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ πρὸς τῷ Γ ἴση ἐστίν.
但角 ΒΑΔ 也等于在 Γ 处的角；因此在 ΑΕΒ 内的角也等于在 Γ 处的角。
καὶ ἡ ἐν τῷ ΑΕΒ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Γ.
γέγραπται ἄρα πάλιν ἐπὶ τῆς ΑΒ τμῆμα κύκλου τὸ ΑΕΒ δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ πρὸς τῷ Γ.
ἀλλὰ δὴ ἡ πρὸς τῷ Γ ἀμβλεῖα ἔστω·
因此，再次在 ΑΒ 上已作了一圆弓形 ΑΕΒ，使它所含的角等于在 Γ 处的角。
καὶ συνεστάτω αὐτῇ ἴση πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ Α σημείῳ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς τρίτης καταγραφῆς, καὶ τῇ ΑΔ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΑΕ, καὶ τετμήσθω πάλιν ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΒ.
καὶ ἐπεὶ πάλιν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ, καὶ κοινὴ ἡ ΖΗ, δύο δὴ αἱ ΑΖ, ΖΗ δύο ταῖς ΒΖ, ΖΗ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΖΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΖΗ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΑΗ βάσει τῇ ΒΗ ἴση ἐστίν· ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ η διαστήματι δὲ τῷ ΗΑ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Β. ἐρχέσθω ὡς ὁ ΑΕΒ. καὶ ἐπεὶ τῇ ΑΕ διαμέτρῳ ἀπʼ ἄκρας πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἡ ΑΔ, ἡ ΑΔ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΕΒ κύκλου. καὶ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Α ἐπαφῆς διῆκται ἡ ΑΒ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΑΔ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι τῷ ΑΘΒ συνισταμένῃ γωνίᾳ.
接着，设在 Γ 处的角是钝角；如第三幅图所示，在直线 ΑΒ 和点 Α 处，作等于它的角 ΒΑΔ，并自 ΑΔ 引垂直的 ΑΕ，再次把 ΑΒ 在 Ζ 点二等分，自 ΑΒ 引垂直的 ΖΗ，且连结 ΗΒ。 由于再次 ΑΖ 等于 ΖΒ，且 ΖΗ 是公共的，因此两条直线 ΑΖ、ΖΗ 分别等于两条直线 ΒΖ、ΖΗ；并且角 ΑΖΗ 等于角 ΒΖΗ；所以底边 ΑΗ 等于底边 ΒΗ；因此以 Η 为圆心， ΗΑ 为半径作的圆也将经过点 Β。 设它通过，如 ΑΕΒ。 又因为自直径 ΑΕ 的端点，ΑΔ 垂直于直径，所以 ΑΔ 切圆 ΑΕΒ。 自点 Α 处的切点引了直线 ΑΒ；因此角 ΒΑΔ 等于在该圆交错弓形 ΑΘΒ 内所建的角。
ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ γωνία τῇ πρὸς τῷ Γ ἴση ἐστίν. καὶ ἡ ἐν τῷ ΑΘΒ ἄρα τμήματι γωνία ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Γ.
ἐπὶ τῆς ἄρα δοθείσης εὐθείας τῆς ΑΒ γέγραπται τμῆμα κύκλου τὸ ΑΘΒ δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ πρὸς τῷ Γ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
但角 ΒΑΔ 等于在 Γ 处的角；因此在弓形 ΑΘΒ 内的角也等于在 Γ 处的角。 因此，在给定的直线 ΑΒ 上，已作了一圆弓形 ΑΘΒ，使它所含的角等于在 Γ 处的角；这就是所要做的事。