§3.prop.34ἀπὸ τοῦ δοθέντος κύκλου τμῆμα ἀφελεῖν δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.
与えられた円から、与えられた直線角に等しい角を受け入れる弓形を切り取ること。
ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ πρὸς τῷ Δ·
与えられた円を ΑΒΓ とし、与えられた直線角を Δ におけるものとせよ。
δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου τμῆμα ἀφελεῖν δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ τῇ πρὸς τῷ Δ.
ἤχθω τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτομένη ἡ ΕΖ κατὰ τὸ Β σημεῖον, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΖΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Β τῇ πρὸς τῷ Δ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΖΒΓ.
ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἐφάπτεταί τις εὐθεῖα ἡ ΕΖ, καὶ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Β ἐπαφῆς διῆκται ἡ ΒΓ, ἡ ὑπὸ ΖΒΓ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ΒΑΓ ἐναλλὰξ τμήματι συνισταμένῃ γωνίᾳ.
このとき、円 ΑΒΓ から、 Δ における、与えられた直線角に等しい角を受け入れる弓形を切り取らなければならない。 点 Β において ΑΒΓ に接する直線 ΕΖ が引かれたとし、直線 ΖΒ およびその上の点 Β において、Δ における角に等しい角 ΖΒΓ が作られたとせよ。 そこで、円 ΑΒΓ にある直線 ΕΖ が接しており、点 Β における接点から ΒΓ が引かれているから、したがって角 ΖΒΓ は、交互の弓形 ΒΑΓ の中に作られる角に等しい。
ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΖΒΓ τῇ πρὸς τῷ Δ ἐστιν ἴση·
ところが、角 ΖΒΓ は Δ における角に等しい。
καὶ ἡ ἐν τῷ ΒΑΓ ἄρα τμήματι ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Δ.
したがって、弓形 ΒΑΓ の中にある角も Δ における角に等しい。
ἀπὸ τοῦ δοθέντος ἄρα κύκλου τοῦ ΑΒΓ τμῆμα ἀφῄρηται τὸ ΒΑΓ δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ τῇ πρὸς τῷ Δ·
したがって、与えられた円 ΑΒΓ から、Δ における、与えられた直線角に等しい角を受け入れる弓形 ΒΑΓ が切り取られた。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これがなすべきことであった。
§3.prop.35ἐὰν ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, τὸ ὑπὸ τῶν τῆς μιᾶς τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν τῆς ἑτέρας τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
円において2つの直線が互いに交わるならば、一方の線分によって囲まれる長方形は、他方の線分によって囲まれる長方形に等しい。
ἐν γὰρ κύκλῳ τῷ ΑΒΓΔ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΒΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε σημεῖον·
なぜなら、円 ΑΒΓΔ において、2つの直線 ΑΓ, ΒΔ が点 Ε において互いに交わるとせよ。
λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
私は言う、ΑΕ, ΕΓ によって囲まれる長方形は、ΔΕ, ΕΒ によって囲まれる長方形に等しいと。
εἰ μὲν οὖν αἱ ΑΓ, ΒΔ διὰ τοῦ κέντρου εἰσὶν ὥστε τὸ Ε κέντρον εἶναι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, φανερόν, ὅτι ἴσων οὐσῶν τῶν ΑΕ, ΕΓ, ΔΕ, ΕΒ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
さて、もし ΑΓ, ΒΔ が中心を通っており、その結果 Ε が円 ΑΒΓΔ の中心であるならば、ΑΕ, ΕΓ, ΔΕ, ΕΒ が等しいので、ΑΕ, ΕΓ によって囲まれる長方形も ΔΕ, ΕΒ によって囲まれる長方形に等しいことは明らかである。
μὴ ἔστωσαν δὴ αἱ ΑΓ, ΔΒ διὰ τοῦ κέντρου, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓΔ, καὶ ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὰς ΑΓ, ΔΒ εὐθείας κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΖΗ, ΖΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ, ΖΓ, ΖΕ.
καὶ ἐπεὶ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΗΖ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΓ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει·
さて、ΑΓ, ΔΒ が中心を通っていないとせよ。 そして ΑΒΓΔ の中心が求められたとし、それを Ζ とせよ。 そして Ζ から直線 ΑΓ, ΔΒ に対し垂線 ΖΗ, ΖΘ が引かれたとし、ΖΒ, ΖΓ, ΖΕ が結ばれたとせよ。 そして、中心を通るある直線 ΗΖ が、中心を通らないある直線 ΑΓ を垂直に交わっているから、それはまたそれを2等分する。
ἴση ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΗΓ. ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΑΓ τέτμηται εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Η, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Ε, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΗ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΓ·
したがって ΑΗ は ΗΓ に等しい。 そこで、直線 ΑΓ が、Η においては等しいものに、Ε においては不等なものに分割されているから、したがって、ΑΕ, ΕΓ によって囲まれる長方形に ΕΗ の上の正方形を加えたものは、ΗΓ の上の正方形に等しい。
προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΗΖ·
共通のものとして ΗΖ の上の正方形が加えられたとせよ。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΗΕ, ΗΖ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΗ, ΗΖ. ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΖ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ, τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΓΗ, ΗΖ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΓ·
すると、 ΑΕ, ΕΓ によって囲まれる長方形に ΗΕ, ΗΖ の上の正方形を加えたものは、ΓΗ, ΗΖ の上の正方形に等しい。 ところが、ΕΗ, ΗΖ の上の正方形には ΖΕ の上の正方形が等しく、ΓΗ, ΗΖ の上の正方形には ΖΓ の上の正方形が等しい。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΓ. ἴση δὲ ἡ ΖΓ τῇ ΖΒ·
したがって、ΑΕ, ΕΓ によって囲まれる長方形に ΖΕ の上の正方形を加えたものは、ΖΓ の上の正方形に等しい。 そして ΖΓ は ΖΒ に等しい。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ·
したがって、ΑΕ, ΕΓ によって囲まれる長方形に ΕΖ の上の正方形を加えたものは、ΖΒ の上の正方形に等しい。 同じ理由により、ΔΕ, ΕΒ によって囲まれる長方形に ΖΕ の上の正方形を加えたものも、ΖΒ の上の正方形に等しい。 また、ΑΕ, ΕΓ によって囲まれる長方形に ΖΕ の上の正方形を加えたものも、ΖΒ の上の正方形に等しいと示された。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ·
したがって、ΑΕ, ΕΓ によって囲まれる長方形に ΖΕ の上の正方形を加えたものは、ΔΕ, ΕΒ によって囲まれる長方形に ΖΕ の上の正方形を加えたものに等しい。 共通のものとして ΖΕ の上の正方形が引かれたとせよ。
λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
したがって残りの、ΑΕ, ΕΓ によって囲まれる長方形は、ΔΕ, ΕΒ によって囲まれる長方形に等しい。
ἐὰν ἄρα ἐν κύκλῳ εὐθεῖαι δύο τέμνωσιν ἀλλήλας, τὸ ὑπὸ τῶν τῆς μιᾶς τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν τῆς ἑτέρας τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ·
したがって、円において2つの直線が互いに交わるならば、一方の線分によって囲まれる長方形は、他方の線分によって囲まれる長方形に等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。