§3.prop.34ἀπὸ τοῦ δοθέντος κύκλου τμῆμα ἀφελεῖν δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.
주어진 원에서, 주어진 직선각과 같은 각을 품는 활꼴을 잘라내기.
ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ πρὸς τῷ Δ·
주어진 원을 ΑΒΓ라 하고, 주어진 직선각을 Δ에 있는 각이라 하자.
δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου τμῆμα ἀφελεῖν δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ τῇ πρὸς τῷ Δ.
ἤχθω τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτομένη ἡ ΕΖ κατὰ τὸ Β σημεῖον, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΖΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Β τῇ πρὸς τῷ Δ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΖΒΓ.
ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἐφάπτεταί τις εὐθεῖα ἡ ΕΖ, καὶ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Β ἐπαφῆς διῆκται ἡ ΒΓ, ἡ ὑπὸ ΖΒΓ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ΒΑΓ ἐναλλὰξ τμήματι συνισταμένῃ γωνίᾳ.
그러면 원 ΑΒΓ로부터, Δ에 있는 주어진 직선각과 같은 각을 품는 활꼴을 잘라내야 한다. 점 Β에서 ΑΒΓ에 접하는 직선 ΕΖ가 그려졌다고 하고, 직선 ΖΒ와 그 위의 점 Β에서, Δ에 있는 각과 같은 각 ΖΒΓ가 만들어졌다고 하자. 그러면 직선 ΕΖ가 원 ΑΒΓ에 접하고, 점 Β에서의 접점으로부터 ΒΓ가 그려졌으므로, 각 ΖΒΓ는 교대하는 활꼴 ΒΑΓ 안에 만들어진 각과 같다.
ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΖΒΓ τῇ πρὸς τῷ Δ ἐστιν ἴση·
그런데 각 ΖΒΓ는 Δ에 있는 각과 같다.
καὶ ἡ ἐν τῷ ΒΑΓ ἄρα τμήματι ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Δ.
그러므로 활꼴 ΒΑΓ 안의 각 역시 Δ에 있는 각과 같다.
ἀπὸ τοῦ δοθέντος ἄρα κύκλου τοῦ ΑΒΓ τμῆμα ἀφῄρηται τὸ ΒΑΓ δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ τῇ πρὸς τῷ Δ·
그러므로 주어진 원 ΑΒΓ로부터, Δ에 있는 주어진 직선각과 같은 각을 품는 활꼴 ΒΑΓ가 잘라졌다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 하고자 했던 바이다.
§3.prop.35ἐὰν ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, τὸ ὑπὸ τῶν τῆς μιᾶς τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν τῆς ἑτέρας τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
원 안에서 두 직선이 서로 교차한다면, 한 직선의 두 선분으로 둘러싸인 직사각형은 다른 직선의 두 선분으로 둘러싸인 직사각형과 같다.
ἐν γὰρ κύκλῳ τῷ ΑΒΓΔ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΒΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε σημεῖον·
왜냐하면 원 ΑΒΓΔ 안에서 두 직선 ΑΓ, ΒΔ가 점 Ε에서 서로 교차한다고 하자.
λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
나는 ΑΕ, ΕΓ로 둘러싸인 직사각형이 ΔΕ, ΕΒ로 둘러싸인 직사각형과 같다고 주장한다.
εἰ μὲν οὖν αἱ ΑΓ, ΒΔ διὰ τοῦ κέντρου εἰσὶν ὥστε τὸ Ε κέντρον εἶναι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, φανερόν, ὅτι ἴσων οὐσῶν τῶν ΑΕ, ΕΓ, ΔΕ, ΕΒ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
만약 ΑΓ, ΒΔ가 중심을 지나서 Ε가 원 ΑΒΓΔ의 중심이라면, ΑΕ, ΕΓ, ΔΕ, ΕΒ가 서로 같으므로, ΑΕ, ΕΓ로 둘러싸인 직사각형이 ΔΕ, ΕΒ로 둘러싸인 직사각형과 같음은 명백하다.
μὴ ἔστωσαν δὴ αἱ ΑΓ, ΔΒ διὰ τοῦ κέντρου, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓΔ, καὶ ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὰς ΑΓ, ΔΒ εὐθείας κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΖΗ, ΖΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ, ΖΓ, ΖΕ.
καὶ ἐπεὶ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΗΖ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΓ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει·
이제 ΑΓ, ΔΒ가 중심을 지나지 않는다고 하고, ΑΒΓΔ의 중심을 구하여 그것을 Ζ라 하자. 그리고 Ζ로부터 직선 ΑΓ, ΔΒ에 수선 ΖΗ, ΖΘ가 그려졌다고 하고, ΖΒ, ΖΓ, ΖΕ가 연결되었다고 하자. 그리고 중심을 지나는 어떤 직선 ΗΖ가 중심을 지나지 않는 어떤 직선 ΑΓ를 수직으로 교차하므로, 그것은 또한 그것을 이등분한다.
ἴση ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΗΓ. ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΑΓ τέτμηται εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Η, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Ε, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΗ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΓ·
그러므로 ΑΗ는 ΗΓ와 같다. 이제 직선 ΑΓ가 Η에서는 같은 크기로, Ε에서는 서로 다른 크기로 분할되어 있으므로, ΑΕ, ΕΓ로 둘러싸인 직사각형에 ΕΗ 위의 정사각형을 더한 것은 ΗΓ 위의 정사각형과 같다.
προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΗΖ·
공통으로 ΗΖ 위의 정사각형이 더해졌다고 하자.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΗΕ, ΗΖ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΗ, ΗΖ. ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΖ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ, τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΓΗ, ΗΖ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΓ·
그러면 ΑΕ, ΕΓ로 둘러싸인 직사각형에 ΗΕ, ΗΖ 위의 정사각형을 더한 것은 ΓΗ, ΗΖ 위의 정사각형들의 합과 같다. 그런데 ΕΗ, ΗΖ 위의 정사각형들의 합은 ΖΕ 위의 정사각형과 같고, ΓΗ, ΗΖ 위의 정사각형들의 합은 ΖΓ 위의 정사각형과 같다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΓ. ἴση δὲ ἡ ΖΓ τῇ ΖΒ·
그러므로 ΑΕ, ΕΓ로 둘러싸인 직사각형에 ΖΕ 위의 정사각형을 더한 것은 ΖΓ 위의 정사각형과 같다. 그리고 ΖΓ는 ΖΒ와 같다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ·
그러므로 ΑΕ, ΕΓ로 둘러싸인 직사각형에 ΕΖ 위의 정사각형을 더한 것은 ΖΒ 위의 정사각형과 같다. 같은 이유로, ΔΕ, ΕΒ로 둘러싸인 직사각형에 ΖΕ 위의 정사각형을 더한 것 역시 ΖΒ 위의 정사각형과 같다. 또한 ΑΕ, ΕΓ로 둘러싸인 직사각형에 ΖΕ 위의 정사각형을 더한 것도 ΖΒ 위의 정사각형과 같다고 증명되었다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ·
그러므로 ΑΕ, ΕΓ로 둘러싸인 직사각형에 ΖΕ 위의 정사각형을 더한 것은 ΔΕ, ΕΒ로 둘러싸인 직사각형에 ΖΕ 위의 정사각형을 더한 것과 같다. 공통으로 ΖΕ 위의 정사각형이 빠졌다고 하자.
λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
그러므로 남은 ΑΕ, ΕΓ로 둘러싸인 직사각형은 ΔΕ, ΕΒ로 둘러싸인 직사각형과 같다.
ἐὰν ἄρα ἐν κύκλῳ εὐθεῖαι δύο τέμνωσιν ἀλλήλας, τὸ ὑπὸ τῶν τῆς μιᾶς τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν τῆς ἑτέρας τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ·
그러므로 원 안에서 두 직선이 서로 교차한다면, 한 직선의 두 선분으로 둘러싸인 직사각형은 다른 직선의 두 선분으로 둘러싸인 직사각형과 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.