§3.prop.31ἐν κύκλῳ ἡ μὲν ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ γωνία ὀρθή ἐστιν, ἡ δὲ ἐν τῷ μείζονι τμήματι ἐλάττων ὀρθῆς, ἡ δὲ ἐν τῷ ἐλάττονι τμήματι μείζων ὀρθῆς· καὶ ἔτι ἡ μὲν τοῦ μείζονος τμήματος γωνία μείζων ἐστὶν ὀρθῆς, ἡ δὲ τοῦ ἐλάττονος τμήματος γωνία ἐλάττων ὀρθῆς.
在圆中，半圆内的角是直角，较大弓形内的角小于直角，较小弓形内的角大于直角；此外，较大弓形的角大于直角，较小弓形的角小于直角。
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἔστω ἡ ΒΓ, κέντρον δὲ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΑ, ΑΓ, ΑΔ, ΔΓ· λέγω, ὅτι ἡ μὲν ἐν τῷ ΒΑΓ ἡμικυκλίῳ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ὀρθή ἐστιν, ἡ δὲ ἐν τῷ ΑΒΓ μείζονι τοῦ ἡμικυκλίου τμήματι γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς, ἡ δὲ ἐν τῷ ΑΔΓ ἐλάττονι τοῦ ἡμικυκλίου τμήματι γωνία ἡ ὑπὸ ΑΔΓ μείζων ἐστὶν ὀρθῆς.
设 ΑΒΓΔ 为圆，其直径为 ΒΓ，圆心为 Ε，且连结 ΒΑ、ΑΓ、ΑΔ、ΔΓ；我说，半圆 ΒΑΓ 内的角 ΒΑΓ 是直角，在大于半圆的弓形 ΑΒΓ 内的角 ΑΒΓ 小于直角，而在小于半圆的弓形 ΑΔΓ 内的角 ΑΔΓ 大于直角。
ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ, καὶ διήχθω ἡ ΒΑ ἐπὶ τὸ Ζ.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΑ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΕ τῇ ΕΑ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ τῇ ὑπὸ ΓΑΕ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΓ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΓΒ ἴση ἐστίν.
设连结 ΑΕ，并将 ΒΑ 延长至 Ζ。 且由于 ΒΕ 等于 ΕΑ，则角 ΑΒΕ 也等于角 ΒΑΕ。 再次，由于 ΓΕ 等于 ΕΑ，则角 ΑΓΕ 也等于角 ΓΑΕ；因此整个角 ΒΑΓ 等于两个角 ΑΒΓ、ΑΓΒ。
ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΑΓ ἐκτὸς τοῦ ΑΒΓ τριγώνου δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΓΒ γωνίαις ἴση· ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΑΓ· ὀρθὴ ἄρα ἑκατέρα· ἡ ἄρα ἐν τῷ ΒΑΓ ἡμικυκλίῳ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ὀρθή ἐστιν.
但在三角形 ΑΒΓ 之外的外角 ΖΑΓ 也等于两个角 ΑΒΓ、ΑΓΒ；因此角 ΒΑΓ 也等于角 ΖΑΓ；因此二者皆为直角；因此在半圆 ΒΑΓ 内的角 ΒΑΓ 是直角。
καὶ ἐπεὶ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΑΓ δύο ὀρθῶν ἐλάττονές εἰσιν, ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, ἐλάττων ἄρα ὀρθῆς ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία· καί ἐστιν ἐν τῷ ΑΒΓ μείζονι τοῦ ἡμικυκλίου τμήματι.
且由于在三角形 ΑΒΓ 中，两个角 ΑΒΓ、ΒΑΓ 小于两直角，而角 ΒΑΓ 是直角，因此角 ΑΒΓ 小于直角；且它是在大于半圆的弓形 ΑΒΓ 内。
καὶ ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ, τῶν δὲ ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, καί ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἐλάττων ὀρθῆς· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΓ γωνία μείζων ὀρθῆς ἐστιν· καί ἐστιν ἐν τῷ ΑΔΓ ἐλάττονι τοῦ ἡμικυκλίου τμήματι.
又由于在圆中，ΑΒΓΔ 是四边形，而圆内接四边形的对角之和等于两直角，且角 ΑΒΓ 小于直角；因此剩余的角 ΑΔΓ 大于直角；且它是在小于半圆的弓形 ΑΔΓ 内。
λέγω, ὅτι καὶ ἡ μὲν τοῦ μείζονος τμήματος γωνία ἡ περιεχομένη ὑπό τῆς ΑΒΓ περιφερείας καὶ τῆς ΑΓ εὐθείας μείζων ἐστὶν ὀρθῆς, ἡ δὲ τοῦ ἐλάττονος τμήματος γωνία ἡ περιεχομένη ὑπό τῆς ΑΔ περιφερείας καὶ τῆς ΑΓ εὐθείας ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς.
我说，较大弓形的角（即由圆弧 ΑΒΓ 与直线 ΑΓ 所夹的角）也大于直角，而较小弓形的角（即由圆弧 ΑΔ 与直线 ΑΓ 所夹的角）小于直角。
καί ἐστιν αὐτόθεν φανερόν.
这显然是直接成立的。
ἐπεὶ γὰρ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ εὐθειῶν ὀρθή ἐστιν, ἡ ἄρα ὑπὸ τῆς ΑΒΓ περιφερείας καὶ τῆς ΑΓ εὐθείας περιεχομένη μείζων ἐστὶν ὀρθῆς.
因为，既然由直线 ΒΑ、ΑΓ 所夹的角是直角，那么由圆弧 ΑΒΓ 与直线 ΑΓ 所夹的角便大于直角。
πάλιν, ἐπεὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΑΖ εὐθειῶν ὀρθή ἐστιν, ἡ ἄρα ὑπὸ τῆς ΓΑ εὐθείας καὶ τῆς ΑΔ περιφερείας περιεχομένη ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς.
再次，既然由直线 ΑΓ、ΑΖ 所夹的角是直角，那么由直线 ΓΑ 与圆弧 ΑΔ 所夹的角便小于直角。
ἐν κύκλῳ ἄρα ἡ μὲν ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ γωνία ὀρθή ἐστιν, ἡ δὲ ἐν τῷ μείζονι τμήματι ἐλάττων ὀρθῆς, ἡ δὲ ἐν τῷ ἐλάττονι μείζων ὀρθῆς, καὶ ἔτι ἡ μὲν τοῦ μείζονος τμήματος μείζων ὀρθῆς, ἡ δὲ τοῦ ἐλάττονος τμήματος ἐλάττων ὀρθῆς· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此在圆中，半圆内的角是直角，较大弓形内的角小于直角，较小弓形内的角大于直角；此外，较大弓形的角大于直角，较小弓形的角小于直角；这就是所要证明的。