§3.prop.28ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσας περιφερείας ἀφαιροῦσι τὴν μὲν μείζονα τῇ μείζονι τὴν δὲ ἐλάττονα τῇ ἐλάττονι.
在等圆中，相等的直线切下相等的弧，较大者等于较大者，较小者等于较小者。
ἔστωσαν ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ, καὶ ἐν τοῖς κύκλοις ἴσαι εὐθεῖαι ἔστωσαν αἱ ΑΒ, ΔΕ τὰς μὲν ΑΓΒ, ΔΖΕ περιφερείας μείζονας ἀφαιροῦσαι τὰς δὲ ΑΗΒ, ΔΘΕ ἐλάττονας· λέγω, ὅτι ἡ μὲν ΑΓΒ μείζων περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ ΔΖΕ μείζονι περιφερείᾳ, ἡ δὲ ΑΗΒ ἐλάττων περιφέρεια τῇ ΔΘΕ.
εἰλήφθω γὰρ τὰ κέντρα τῶν κύκλων τὰ Κ, Λ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΚ, ΚΒ, ΔΛ, ΛΕ.
καὶ ἐπεὶ ἴσοι κύκλοι εἰσίν, ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ἐκ τῶν κέντρων·
设 ΑΒΓ、ΔΕΖ 为等圆，且在圆中设 ΑΒ、ΔΕ 为相等的直线，切下较大的弧 ΑΓΒ、ΔΖΕ 以及较小的弧 ΑΗΒ、ΔΘΕ；我说，较大的弧 ΑΓΒ 等于较大的弧 ΔΖΕ，较小的弧 ΑΗΒ 等于较小的弧 ΔΘΕ。
δύο δὴ αἱ ΑΚ, ΚΒ δυσὶ ταῖς ΔΛ, ΛΕ ἴσαι εἰσίν·
因为，设取圆心为 Κ、Λ，且连结 ΑΚ、ΚΒ、ΔΛ、ΛΕ。
καὶ βάσις ἡ ΑΒ βάσει τῇ ΔΕ ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΚΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΛΕ ἴση ἐστίν.
且由于圆相等，则半径也相等；因此两个 ΑΚ、ΚΒ 等于两个 ΔΛ、ΛΕ；且底边 ΑΒ 等于底边 ΔΕ；因此角 ΑΚΒ 等于角 ΔΛΕ。
αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν, ὅταν πρὸς τοῖς κέντροις ὦσιν· ἴση ἄρα ἡ ΑΗΒ περιφέρεια τῇ ΔΘΕ. ἐστὶ δὲ καὶ ὅλος ὁ ΑΒΓ κύκλος ὅλῳ τῷ ΔΕΖ κύκλῳ ἴσος·
但在圆心处相等的角所对的弧相等；因此弧 ΑΗΒ 等于弧 ΔΘΕ。
καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΓΒ περιφέρεια λοιπῇ τῇ ΔΖΕ περιφερείᾳ ἴση ἐστίν.
且整个圆 ΑΒΓ 也等于整个圆 ΔΕΖ；因此剩余的弧 ΑΓΒ 也等于剩余的弧 ΔΖΕ。
ἐν ἄρα τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσας περιφερείας ἀφαιροῦσι τὴν μὲν μείζονα τῇ μείζονι τὴν δὲ ἐλάττονα τῇ ἐλάττονι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此在等圆中，相等的直线切下相等的弧，较大者等于较大者，较小者等于较小者；这就是所要证明的。
§3.prop.29ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις τὰς ἴσας περιφερείας ἴσαι εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν.
在等圆中，相等的直线对等弧。
ἔστωσαν ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ, καὶ ἐν αὐτοῖς ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν αἱ ΒΗΓ, ΕΘΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ, ΕΖ εὐθεῖαι· λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ.
εἰλήφθω γὰρ τὰ κέντρα τῶν κύκλων, καὶ ἔστω τὰ Κ, Λ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΚ, ΚΓ, ΕΛ, ΛΖ.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΗΓ περιφέρεια τῇ ΕΘΖ περιφερείᾳ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΚΓ τῇ ὑπὸ ΕΛΖ. καὶ ἐπεὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ κύκλοι, ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ἐκ τῶν κέντρων·
设 ΑΒΓ、ΔΕΖ 为等圆，并在其中切下相等的弧 ΒΗΓ、ΕΘΖ，且连结直线 ΒΓ、ΕΖ；我说，ΒΓ 等于 ΕΖ。 因为，设取圆的圆心，且设它们为 Κ、Λ，并连结 ΒΚ、ΚΓ、ΕΛ、ΛΖ。 且由于弧 ΒΗΓ 等于弧 ΕΘΖ，则角 ΒΚΓ 也等于角 ΕΛΖ。
δύο δὴ αἱ ΒΚ, ΚΓ δυσὶ ταῖς ΕΛ, ΛΖ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν· βάσις ἄρα ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστίν.
又由于圆 ΑΒΓ、ΔΕΖ 相等，则半径也相等；因此两个 ΒΚ、ΚΓ 等于两个 ΕΛ、ΛΖ；且它们夹等角；因此底边 ΒΓ 等于底边 ΕΖ。
ἐν ἄρα τοῖς ἴσοις κύκλοις τὰς ἴσας περιφερείας ἴσαι εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此在等圆中，相等的弧由相等的直线所对；这就是所要证明的。
§3.prop.30τὴν δοθεῖσαν περιφέρειαν δίχα τεμεῖν.
平分已知弧。
ἔστω ἡ δοθεῖσα περιφέρεια ἡ ΑΔΒ· δεῖ δὴ τὴν ΑΔΒ περιφέρειαν δίχα τεμεῖν.
设已知弧为 ΑΔΒ；需要平分弧 ΑΔΒ。
ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΒ.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΓΔ, δύο δὴ αἱ ΑΓ, ΓΔ δυσὶ ταῖς ΒΓ, ΓΔ ἴσαι εἰσίν·
设连结 ΑΒ，并使其在 Γ 处被平分，且从点 Γ，向直线 ΑΒ 作垂线 ΓΔ，并连结 ΑΔ、ΔΒ。
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα· βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΔΒ ἴση ἐστίν.
且由于 ΑΓ 等于 ΓΒ，而 ΓΔ 是公共的，因此两个 ΑΓ、ΓΔ 等于两个 ΒΓ、ΓΔ；且角 ΑΓΔ 等于角 ΒΓΔ，因为每一个都是直角；因此底边 ΑΔ 等于底边 ΔΒ。
αἱ δὲ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσας περιφερείας ἀφαιροῦσι τὴν μὲν μείζονα τῇ μείζονι τὴν δὲ ἐλάττονα τῇ ἐλάττονι· καί ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΑΔ, ΔΒ περιφερειῶν ἐλάττων ἡμικυκλίου· ἴση ἄρα ἡ ΑΔ περιφέρεια τῇ ΔΒ περιφερείᾳ.
而在等圆中，相等的直线切下相等的弧，较大者等于较大者，较小者等于较小者；且弧 ΑΔ、ΔΒ 中的每一者都小于半圆；因此弧 ΑΔ 等于弧 ΔΒ。
ἡ ἄρα δοθεῖσα περιφέρεια δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Δ σημεῖον· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
因此，已知弧已在点 Δ 处被平分；这就是所要做的事情。