§3.prop.3ἐὰν ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου δίχα τέμνῃ, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει·
もし円において、中心を通るある直線が、中心を通らないある直線を二等分するならば、それはまたそれを直角に交わる。
καὶ ἐὰν πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνῃ, καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει.
また、もしそれがそれを直角に交わるならば、それはまたそれを二等分する。
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ ἐν αὐτῷ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΓΔ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΒ δίχα τεμνέτω κατὰ τὸ Ζ σημεῖον·
円をΑΒΓとし、その中において、中心を通るある直線ΓΔが、中心を通らないある直線ΑΒを点Ζにおいて二等分するものとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει.
私は、それがまたそれを直角に交わると主張する。
εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ ἔστω τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΑ, ΕΒ.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΖΕ, δύο δυσὶν ἴσαι.
なぜなら、円ΑΒΓの中心が取られ、それを Εとし、ΕΑ、ΕΒが結ばれたとせよ。 そして、ΑΖはΖΒに等しく、ΖΕは共通であるから、２つの（辺が）２つの（辺に）等しい。
καὶ βάσις ἡ ΕΑ βάσει τῇ ΕΒ ἴση·
底辺ΕΑは底辺ΕΒに等しい。
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΖΕ ἴση ἐστίν.
したがって角ΑΖΕは角ΒΖΕに等しい。
ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστιν·
直線が直線の上に立って、隣り合う角を互いに等しくするとき、それら等しい角のそれぞれは直角である。
ἑκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ ΑΖΕ, ΒΖΕ ὀρθή ἐστιν.
したがって角ΑΖΕ、ΒΖΕのそれぞれは直角である。
ἡ ΓΔ ἄρα διὰ τοῦ κέντρου οὖσα τὴν ΑΒ μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαν δίχα τέμνουσα καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει.
したがって、中心を通る直線ΓΔは、中心を通らない直線ΑΒを二等分しながら、また直角に交わる。
ἀλλὰ δὴ ἡ ΓΔ τὴν ΑΒ πρὸς ὀρθὰς τεμνέτω·
しかし今度は、ΓΔがΑΒに直角に交わるものとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει, τουτέστιν, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ.
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΑ τῇ ΕΒ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΑΖ τῇ ὑπὸ ΕΒΖ. ἐστὶ δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΖΕ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΒΖΕ ἴση·
私は、それがまたそれを二等分する、すなわちΑΖがΖΒに等しいと主張する。 なぜなら、同じ作図がなされたとすると、ΕΑはΕΒに等しいから、角 ΕΑΖもまた角ΕΒΖに等しい。 そしてまた直角である角ΑΖΕは、直角である角ΒΖΕに等しい。
δύο ἄρα τρίγωνά ἐστι τὰ ΕΑΖ, ΕΖΒ τὰς δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην κοινὴν αὐτῶν τὴν ΕΖ ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν·
したがって２つの三角形ΕΑΖ、ΕΖΒは、２つの角が２つの角に等しく、かつ１つの辺が１つの辺に等しい。 その辺とはそれらに共通のΕΖであり、等しい角の１つの下に対面している。
καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει·
したがってそれらは残りの辺も残りの辺に等しく持つであろう。
ἴση ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ.
ἐὰν ἄρα ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου δίχα τέμνῃ, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει·
したがってΑΖはΖΒに等しい。 したがって、もし円において、中心を通るある直線が、中心を通らないある直線を二等分するならば、それはまたそれを直角に交わる。
καὶ ἐὰν πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνῃ, καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει·
また、もしそれがそれを直角に交わるならば、それはまたそれを二等分する。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきものであった。
§3.prop.4ἐὰν ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι, οὐ τέμνουσιν ἀλλήλας δίχα.
もし円において、２つの直線が互いに交わり、それらが中心を通らないものであるならば、それらは互いを二等分することはない。
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῷ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΒΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι·
円をΑΒΓΔとし、その中において、２つの直線ΑΓ、ΒΔが、中心を通らないものであるが、点Εにおいて互いに交わるものとせよ。
λέγω, ὅτι οὐ τέμνουσιν ἀλλήλας δίχα.
私は、それらが互いを二等分することはないと主張する。
εἰ γὰρ δυνατόν, τεμνέτωσαν ἀλλήλας δίχα ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΑΕ τῇ ΕΓ, τὴν δὲ ΒΕ τῇ ΕΔ·
なぜなら、もし可能ならば、それらが互いを二等分するものとし、ΑΕはΕΓに、ΒΕはΕΔに等しいとせよ。
καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, καὶ ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΕ.
ἐπεὶ οὖν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΖΕ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΓ δίχα τέμνει, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει·
そして円ΑΒΓΔの中心が取られ、それをΖとし、ΖΕが結ばれたとせよ。 そこで、中心を通るある直線ΖΕが、中心を通らないある直線ΑΓを二等分するから、それはまたそれを直角に交わる。
ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΕΑ·
したがって角ΖΕΑは直角である。
πάλιν, ἐπεὶ εὐθεῖά τις ἡ ΖΕ εὐθεῖάν τινα τὴν ΒΔ δίχα τέμνει, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει·
また、ある直線ΖΕが、ある直線ΒΔを二等分するから、それはまたそれを直角に交わる。
ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΕΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΑ ὀρθή·
したがって角ΖΕΒは直角である。 しかし角ΖΕΑも直角であると示された。
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΕΑ τῇ ὑπὸ ΖΕΒ ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι·
したがって角ΖΕΑは角ΖΕΒに等しい、すなわち小さい方が大きい方に。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα αἱ ΑΓ, ΒΔ τέμνουσιν ἀλλήλας δίχα.
したがってΑΓ、ΒΔは互いを二等分することはない。
ἐὰν ἄρα ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι, οὐ τέμνουσιν ἀλλήλας δίχα·
したがって、もし円において、２つの直線が互いに交わり、それらが中心を通らないものであるならば、それらは互いを二等分することはない。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきものであった。
§3.prop.5ἐὰν δύο κύκλοι τέμνωσιν ἀλλήλους, οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον.
もし２つの円が互いに交わるならば、それらの中心は同じではないであろう。
δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΓΔΗ τεμνέτωσαν ἀλλήλους κατὰ τὰ Β, Γ σημεῖα.
なぜなら、２つの円ΑΒΓ、ΓΔΗが点Β、Γにおいて互いに交わるものとせよ。
λέγω, ὅτι οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον.
私は、それらの中心は同じではないと主張する。
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ, καὶ διήχθω ἡ ΕΖΗ, ὡς ἔτυχεν.
なぜなら、もし可能ならば、それをΕとし、ΕΓが結ばれ、ΕΖΗが任意に引かれたとせよ。
καὶ ἐπεὶ τὸ Ε σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΕΓ τῇ ΕΖ. πάλιν, ἐπεὶ τὸ Ε σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΔΗ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΕΓ τῇ ΕΗ·
そして点Εは円ΑΒΓの中心であるから、ΕΓはΕΖに等しい。 また、点Εは円ΓΔΗの中心であるから、ΕΓはΕΗに等しい。
ἐδείχθη δὲ ἡ ΕΓ καὶ τῇ ΕΖ ἴση·
しかしΕΓはΕΖにも等しいと示された。
καὶ ἡ ΕΖ ἄρα τῇ ΕΗ ἐστιν ἴση ἡ ἐλάσσων τῇ μείζονι·
したがってΕΖもまたΕΗに等しい、すなわち小さい方が大きい方に。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα τὸ Ε σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῶν ΑΒΓ, ΓΔΗ κύκλων.
したがって点Εは円ΑΒΓ、ΓΔΗの中心ではない。
ἐὰν ἄρα δύο κύκλοι τέμνωσιν ἀλλήλους, οὐκ ἔστιν αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον·
したがって、もし２つの円が互いに交わるならば、それらの中心は同じではない。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきものであった。