§3.prop.3ἐὰν ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου δίχα τέμνῃ, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει·
원 안에서 중심을 지나는 어떤 직선이 중심을 지나지 않는 어떤 직선을 이등분한다면, 그것은 또한 그것을 수직으로 자른다.
καὶ ἐὰν πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνῃ, καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει.
그리고 그것이 그것을 수직으로 자른다면, 그것은 또한 그것을 이등분한다.
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ ἐν αὐτῷ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΓΔ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΒ δίχα τεμνέτω κατὰ τὸ Ζ σημεῖον·
원을 ABC라 하고, 그 안에서 중심을 지나는 어떤 직선 GD가 중심을 지나지 않는 어떤 직선 AB를 점 Z에서 이등분하게 하라.
λέγω, ὅτι καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει.
나는 그것이 또한 그것을 수직으로 자른다고 주장한다.
εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ ἔστω τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΑ, ΕΒ.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΖΕ, δύο δυσὶν ἴσαι.
왜냐하면 원 ABC의 중심이 잡혔다고 하고, 그것을 E라 하며, EA, EB를 연결하라. 그리고 AZ가 ZB와 같고 ZE는 공통이므로, 두 변은 두 변과 같다.
καὶ βάσις ἡ ΕΑ βάσει τῇ ΕΒ ἴση·
그리고 밑변 EA는 밑변 EB와 같다.
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΖΕ ἴση ἐστίν.
그러므로 각 AZE는 각 BZE와 같다.
ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστιν·
직선이 다른 직선 위에 서서 인접한 각들을 서로 같게 만들 때, 그 같은 각들 각각은 직각이다.
ἑκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ ΑΖΕ, ΒΖΕ ὀρθή ἐστιν.
그러므로 각 AZE, BZE 각각은 직각이다.
ἡ ΓΔ ἄρα διὰ τοῦ κέντρου οὖσα τὴν ΑΒ μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαν δίχα τέμνουσα καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει.
그러므로 중심을 지나는 GD는 중심을 지나지 않는 AB를 이등분하면서 수직으로도 자른다.
ἀλλὰ δὴ ἡ ΓΔ τὴν ΑΒ πρὸς ὀρθὰς τεμνέτω·
이번에는 GD가 AB를 수직으로 자른다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει, τουτέστιν, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ.
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΑ τῇ ΕΒ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΑΖ τῇ ὑπὸ ΕΒΖ. ἐστὶ δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΖΕ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΒΖΕ ἴση·
나는 그것이 또한 그것을 이등분한다고 주장한다. 즉, AZ가 ZB와 같다는 것이다. 왜냐하면 같은 작도가 이루어졌을 때, EA가 EB와 같으므로, 각 EAZ 역시 각 EBZ와 같다. 그리고 직각인 AZE 역시 직각인 BZE와 같다.
δύο ἄρα τρίγωνά ἐστι τὰ ΕΑΖ, ΕΖΒ τὰς δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην κοινὴν αὐτῶν τὴν ΕΖ ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν·
그러므로 두 삼각형 EAZ, EZB는 두 각이 두 각과 같고 한 변이 한 변과 같다. 그 변은 그들에게 공통인 EZ이며, 같은 각 중 하나의 대변이다.
καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει·
그러므로 그것들은 남은 변들도 남은 변들과 같게 가질 것이다.
ἴση ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ.
ἐὰν ἄρα ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου δίχα τέμνῃ, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει·
그러므로 AZ는 ZB와 같다. 그러므로 원 안에서 중심을 지나는 어떤 직선이 중심을 지나지 않는 어떤 직선을 이등분한다면, 그것은 또한 그것을 수직으로 자른다.
καὶ ἐὰν πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνῃ, καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει·
그리고 그것이 그것을 수직으로 자른다면, 그것은 또한 그것을 이등분한다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 일이다.
§3.prop.4ἐὰν ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι, οὐ τέμνουσιν ἀλλήλας δίχα.
원 안에서 두 직선이 서로 교차하고 그것들이 중심을 지나지 않는다면, 그것들은 서로를 이등분하지 않는다.
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῷ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΒΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι·
원을 ABCD라 하고, 그 안에서 중심을 지나지 않는 두 직선 AC, BD가 점 E에서 서로 교차하게 하라.
λέγω, ὅτι οὐ τέμνουσιν ἀλλήλας δίχα.
나는 그것들이 서로를 이등분하지 않는다고 주장한다.
εἰ γὰρ δυνατόν, τεμνέτωσαν ἀλλήλας δίχα ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΑΕ τῇ ΕΓ, τὴν δὲ ΒΕ τῇ ΕΔ·
왜냐하면 가능하다면 그것들이 서로를 이등분한다고 하여, AE는 EC와 같고 BE는 ED와 같다고 하자.
καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, καὶ ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΕ.
ἐπεὶ οὖν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΖΕ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΓ δίχα τέμνει, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει·
그리고 원 ABCD의 중심이 잡혔다고 하고, 그것을 Z라 하며, ZE를 연결하라. 그러면 중심을 지나는 어떤 직선 ZE가 중심을 지나지 않는 어떤 직선 AC를 이등분하므로, 그것은 또한 그것을 수직으로 자른다.
ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΕΑ·
그러므로 각 ZEA는 직각이다.
πάλιν, ἐπεὶ εὐθεῖά τις ἡ ΖΕ εὐθεῖάν τινα τὴν ΒΔ δίχα τέμνει, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει·
다시, 어떤 직선 ZE가 어떤 직선 BD를 이등분하므로, 그것은 또한 그것을 수직으로 자른다.
ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΕΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΑ ὀρθή·
그러므로 각 ZEB는 직각이다. 그런데 각 ZEA도 직각이라고 증명되었다.
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΕΑ τῇ ὑπὸ ΖΕΒ ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι·
그러므로 각 ZEA는 각 ZEB와 같다. 즉 더 작은 각이 더 큰 각과 같다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이는 불가능하다.
οὐκ ἄρα αἱ ΑΓ, ΒΔ τέμνουσιν ἀλλήλας δίχα.
그러므로 AC, BD는 서로를 이등분하지 않는다.
ἐὰν ἄρα ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι, οὐ τέμνουσιν ἀλλήλας δίχα·
그러므로 원 안에서 두 직선이 서로 교차하고 그것들이 중심을 지나지 않는다면, 그것들은 서로를 이등분하지 않는다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 일이다.
§3.prop.5ἐὰν δύο κύκλοι τέμνωσιν ἀλλήλους, οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον.
두 원이 서로 교차한다면, 그것들은 같은 중심을 갖지 않을 것이다.
δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΓΔΗ τεμνέτωσαν ἀλλήλους κατὰ τὰ Β, Γ σημεῖα.
왜냐하면 두 원 ABC, CDH가 점 B, G에서 서로 교차한다고 하자.
λέγω, ὅτι οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον.
나는 그것들이 같은 중심을 갖지 않을 것이라고 주장한다.
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ, καὶ διήχθω ἡ ΕΖΗ, ὡς ἔτυχεν.
왜냐하면 가능하다면 그것을 E라 하고, EG를 연결하고, EZH를 임의로 긋자.
καὶ ἐπεὶ τὸ Ε σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΕΓ τῇ ΕΖ. πάλιν, ἐπεὶ τὸ Ε σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΔΗ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΕΓ τῇ ΕΗ·
그리고 점 E가 원 ABC의 중심이므로, EG는 EZ와 같다. 다시, 점 E가 원 CDH의 중심이므로, EG는 EH와 같다.
ἐδείχθη δὲ ἡ ΕΓ καὶ τῇ ΕΖ ἴση·
그런데 EG는 EZ와도 같다고 증명되었다.
καὶ ἡ ΕΖ ἄρα τῇ ΕΗ ἐστιν ἴση ἡ ἐλάσσων τῇ μείζονι·
그러므로 EZ 역시 EH와 같다. 즉 더 작은 것이 더 큰 것과 같다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이는 불가능하다.
οὐκ ἄρα τὸ Ε σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῶν ΑΒΓ, ΓΔΗ κύκλων.
그러므로 점 E는 원 ABC, CDH의 중심이 아니다.
ἐὰν ἄρα δύο κύκλοι τέμνωσιν ἀλλήλους, οὐκ ἔστιν αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον·
그러므로 두 원이 서로 교차한다면, 그것들은 같은 중심을 갖지 않는다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 일이다.