§3.prop.1τοῦ δοθέντος κύκλου τὸ κέντρον εὑρεῖν.
求已知圆的圆心。
ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓ·
设已知圆为ABC。
δεῖ δὴ τοῦ ΑΒΓ κύκλου τὸ κέντρον εὑρεῖν.
以此，必须求圆ABC的圆心。
διήχθω τις εἰς αὐτόν, ὡς ἔτυχεν, εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Δ σημεῖον, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΔΓ καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ τετμήσθω ἡ ΓΕ δίχα κατὰ τὸ Ζ·
在其中任意引一条直线AB，并且在点D处将它二等分，自D引DG垂直于AB，并延长到E，并将GE在Z处二等分。
λέγω, ὅτι τὸ Ζ κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ.
我说，Z是ABC的圆心。
μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, ἔστω τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΑ, ΗΔ, ΗΒ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΔΗ, δύο δὴ αἱ ΑΔ, ΔΗ δύο ταῖς ΗΔ, ΔΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
如果不（是Z），在可能的情况下，设它是H，并连结HA、HD、HB。
καὶ βάσις ἡ ΗΑ βάσει τῇ ΗΒ ἐστιν ἴση· ἐκ κέντρου γάρ· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΗΔΒ ἴση ἐστίν.
因为AD等于DB，且DH是公共的，所以两边AD、DH分别等于两边HD、DB；且底边HA等于底边HB；因为它们是自圆心（引出的线段）；因此角ADH等于角HDB。
ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστιν·
当一条直线立在另一条直线上，使相邻的角彼此相等时，这些相等角之每一个都是直角。
ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΔΒ. ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΔΒ ὀρθή·
因此角HDB是直角。
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΔΒ τῇ ὑπὸ ΗΔΒ, ἡ μείζων τῇ ἐλάττονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
但角ZDB也是直角；因此角ZDB等于角HDB，即较大者等于较小者；这是不可能的。
οὐκ ἄρα τὸ Η κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
因此H不是圆ABC的圆心。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδʼ ἄλλο τι πλὴν τοῦ Ζ.
τὸ Ζ ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ.
同样地，我们也可以证明，除了Z以外，没有其他点是圆心。 因此点Z是ABC的圆心。
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις εὐθεῖάν τινα δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνῃ, ἐπὶ τῆς τεμνούσης ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
推论由此显然，如果在圆内，一条直线将另一条直线二等分且与之垂直，则该圆的圆心在分线上；此即所求作。
§3.prop.2ἐὰν κύκλου ἐπὶ τῆς περιφερείας ληφθῇ δύο τυχόντα σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου.
若在圆周上任取两点，连结这两点的直线将落在圆的内部。
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ εἰλήφθω δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Α, Β·
设ABC为一圆，并在其圆周上任取两点A、B。
λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου.
我说，自A至B连结的直线将落在圆的内部。
μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, πιπτέτω ἐκτὸς ὡς ἡ ΑΕΒ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ ἔστω τὸ δ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΑ, ΔΒ, καὶ διήχθω ἡ ΔΖΕ.
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΔΒ, ἴση ἄρα καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΕ τῇ ὑπὸ ΔΒΕ·
如果不（落在内部），在可能的情况下，设它落在外侧，如AEB，并取圆ABC的圆心，设为 D，连结DA、DB，并引DZE。 因为DA等于DB，所以角DAE也等于角DBE。
καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΔΑΕ μία πλευρὰ προσεκβέβληται ἡ ΑΕΒ, μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΒ γωνία τῆς ὑπὸ ΔΑΕ. ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΔΑΕ τῇ ὑπὸ ΔΒΕ·
又因为三角形DAE的一边AEB已被延长，所以外角DEB大于内对角DAE。 而角DAE等于角DBE；因此角DEB大于角DBE。
μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΒ τῆς ὑπὸ ΔΒΕ. ὑπὸ δὲ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει·
而在较大角下对着较长边；因此DB大于DE。
μείζων ἄρα ἡ ΔΒ τῆς ΔΕ. ἴση δὲ ἡ ΔΒ τῇ ΔΖ. μείζων ἄρα ἡ ΔΖ τῆς ΔΕ ἡ ἐλάττων τῆς μείζονος· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
而 DB等于DZ。 因此DZ大于DE，即较小者大于较大者；这是不可能的。
οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου.
因此，自A至B连结的直线不会落在圆的外部。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἐπʼ αὐτῆς τῆς περιφερείας· ἐντὸς ἄρα.
同样地，我们也可以证明，它也不会落在圆周本身上；因此落在内部。
ἐὰν ἄρα κύκλου ἐπὶ τῆς περιφερείας ληφθῇ δύο τυχόντα σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
由此，若在圆周上任取两点，连结这两点的直线将落在圆的内部；此即所证。