§3.prop.26ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν, ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι.
在等圆中，相等的角所对的弧相等，无论这些角是在圆心处还是在圆周处。
ἔστωσαν ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ καὶ ἐν αὐτοῖς ἴσαι γωνίαι ἔστωσαν πρὸς μὲν τοῖς κέντροις αἱ ὑπὸ ΒΗΓ, ΕΘΖ, πρὸς δὲ ταῖς περιφερείαις αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΕΔΖ· λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΚΓ περιφέρεια τῇ ΕΛΖ περιφερείᾳ.
设 ΑΒΓ、ΔΕΖ 为等圆，并在其中设在圆心处的角 ΒΗΓ、ΕΘΖ 以及在圆周处的角 ΒΑΓ、ΕΔΖ 相等；我说，弧 ΒΚΓ 等于弧 ΕΛΖ。
ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΓ, ΕΖ.
καὶ ἐπεὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ κύκλοι, ἴσαι εἰσὶν αἱ ἐκ τῶν κέντρων·
因为，设连结 ΒΓ、ΕΖ。
δύο δὴ αἱ ΒΗ, ΗΓ δύο ταῖς ΕΘ, ΘΖ ἴσαι· καὶ γωνία ἡ πρὸς τῷ η γωνίᾳ τῇ πρὸς τῷ Θ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ ἐστιν ἴση.
且由于圆 ΑΒΓ、ΔΕΖ 相等，则半径相等；因此两个 ΒΗ、ΗΓ 等于两个 ΕΘ、ΘΖ；且在 Η 处的角等于在 Θ 处的角；因此底边 ΒΓ 等于底边 ΕΖ。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία τῇ πρὸς τῷ Δ, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΑΓ τμῆμα τῷ ΕΔΖ τμήματι· καί εἰσιν ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν·
又由于在 Α 处的角等于在 Δ 处的角，因此弓形 ΒΑΓ 相似于弓形 ΕΔΖ；且它们在相等直线上。
τὰ δὲ ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν ὅμοια τμήματα κύκλων ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ἴσον ἄρα τὸ ΒΑΓ τμῆμα τῷ ΕΔΖ. ἔστι δὲ καὶ ὅλος ὁ ΑΒΓ κύκλος ὅλῳ τῷ ΔΕΖ κύκλῳ ἴσος· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΚΓ περιφέρεια τῇ ΕΛΖ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση.
而在相等直线上的相似圆弓形彼此相等；因此弓形 ΒΑΓ 等于 ΕΔΖ。 但整个圆 ΑΒΓ 也等于整个圆 ΔΕΖ；因此剩余的弧 ΒΚΓ 等于弧 ΕΛΖ。
ἐν ἄρα τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν, ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此在等圆中，相等的角所对的弧相等，无论这些角是在圆心处还是在圆周处；这就是所要证明的。
§3.prop.27ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβηκυῖαι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι.
在等圆中，在相等弧上所立的角彼此相等，无论这些角是在圆心处还是在圆周处。
ἐν γὰρ ἴσοις κύκλοις τοῖς ΑΒΓ, ΔΕΖ ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν τῶν ΒΓ, ΕΖ πρὸς μὲν τοῖς Η, Θ κέντροις γωνίαι βεβηκέτωσαν αἱ ὑπὸ ΒΗΓ, ΕΘΖ, πρὸς δὲ ταῖς περιφερείαις αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΕΔΖ· λέγω, ὅτι ἡ μὲν ὑπὸ ΒΗΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΘΖ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἐστιν ἴση.
因为，在等圆 ΑΒΓ、ΔΕΖ 中，在相等弧 ΒΓ、ΕΖ 上，设在圆心 Η、Θ 处立角 ΒΗΓ、ΕΘΖ，在圆周处立角 ΒΑΓ、ΕΔΖ；我说，角 ΒΗΓ 等于角 ΕΘΖ，且角 ΒΑΓ 等于角 ΕΔΖ。
εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΗΓ τῇ ὑπὸ ΕΘΖ, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν.
因为若角 ΒΗΓ 不等于角 ΕΘΖ，则其中一者较大。
ἔστω μείζων ἡ ὑπὸ ΒΗΓ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΒΗ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Η τῇ ὑπὸ ΕΘΖ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΗΚ· αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν, ὅταν πρὸς τοῖς κέντροις ὦσιν· ἴση ἄρα ἡ ΒΚ περιφέρεια τῇ ΕΖ περιφερείᾳ.
设角 ΒΗΓ 较大，并在直线 ΒΗ 上以及在其上的点 Η 处，构造等于角 ΕΘΖ 的角 ΒΗΚ；而在圆心处相等的角所对的弧相等；因此弧 ΒΚ 等于弧 ΕΖ。
ἀλλὰ ἡ ΕΖ τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ΒΚ ἄρα τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
但 ΕΖ 等于 ΒΓ；因此 ΒΚ 也等于 ΒΓ，即较小者等于较大者；这是不可能的。
οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΘΖ· ἴση ἄρα.
因此角 ΒΗΓ 不可能不等于角 ΕΘΖ；因此它相等。
καί ἐστι τῆς μὲν ὑπὸ ΒΗΓ ἡμίσεια ἡ πρὸς τῷ Α, τῆς δὲ ὑπὸ ΕΘΖ ἡμίσεια ἡ πρὸς τῷ Δ· ἴση ἄρα καὶ ἡ πρὸς τῷ Α γωνία τῇ πρὸς τῷ Δ.
ἐν ἄρα τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβηκυῖαι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
且在 Α 处的角是角 ΒΗΓ 的一半，而在 Δ 处的角是角 ΕΘΖ 的一半；因此在 Α 处的角也等于在 Δ 处的角。 因此在等圆中，在相等弧上所立的角彼此相等，无论这些角是在圆心处还是在圆周处；这就是所要证明的。