§3.prop.28ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσας περιφερείας ἀφαιροῦσι τὴν μὲν μείζονα τῇ μείζονι τὴν δὲ ἐλάττονα τῇ ἐλάττονι.
등원들에서 같은 직선들은 같은 호들을 잘라낸다, 큰 것은 큰 것과 같고 작은 것은 작은 것과 같게.
ἔστωσαν ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ, καὶ ἐν τοῖς κύκλοις ἴσαι εὐθεῖαι ἔστωσαν αἱ ΑΒ, ΔΕ τὰς μὲν ΑΓΒ, ΔΖΕ περιφερείας μείζονας ἀφαιροῦσαι τὰς δὲ ΑΗΒ, ΔΘΕ ἐλάττονας·
등원 ΑΒΓ, ΔΕΖ가 있다 하고, 그 원들 안에 같은 직선 ΑΒ, ΔΕ가 있어서 큰 호 ΑΓΒ, ΔΖΕ를 잘라내고 작은 호 ΑΗΒ, ΔΘΕ를 잘라낸다고 하자.
λέγω, ὅτι ἡ μὲν ΑΓΒ μείζων περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ ΔΖΕ μείζονι περιφερείᾳ, ἡ δὲ ΑΗΒ ἐλάττων περιφέρεια τῇ ΔΘΕ.
εἰλήφθω γὰρ τὰ κέντρα τῶν κύκλων τὰ Κ, Λ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΚ, ΚΒ, ΔΛ, ΛΕ.
καὶ ἐπεὶ ἴσοι κύκλοι εἰσίν, ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ἐκ τῶν κέντρων·
나는 큰 호 ΑΓΒ는 큰 호 ΔΖΕ와 같고, 작은 호 ΑΗΒ는 작은 호 ΔΘΕ와 같다고 주장한다. 왜냐하면 원들의 중심 Κ, Λ가 잡혔다고 하고, ΑΚ, ΚΒ, ΔΛ, ΛΕ가 연결되었다고 하자. 그리고 원들이 같으므로, 중심들로부터의 직선들도 또한 같다.
δύο δὴ αἱ ΑΚ, ΚΒ δυσὶ ταῖς ΔΛ, ΛΕ ἴσαι εἰσίν·
그러므로 두 개의 ΑΚ, ΚΒ는 두 개의 ΔΛ, ΛΕ와 같다.
καὶ βάσις ἡ ΑΒ βάσει τῇ ΔΕ ἴση·
그리고 밑변 ΑΒ는 밑변 ΔΕ와 같다.
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΚΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΛΕ ἴση ἐστίν.
그러므로 각 ΑΚΒ는 각 ΔΛΕ와 같다.
αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν, ὅταν πρὸς τοῖς κέντροις ὦσιν·
그런데 같은 각들은 그것들이 중심들에 있을 때 같은 호들 위에 놓인다.
ἴση ἄρα ἡ ΑΗΒ περιφέρεια τῇ ΔΘΕ. ἐστὶ δὲ καὶ ὅλος ὁ ΑΒΓ κύκλος ὅλῳ τῷ ΔΕΖ κύκλῳ ἴσος·
그러므로 호 ΑΗΒ는 호 ΔΘΕ와 같다. 그리고 전체 원 ΑΒΓ 역시 전체 원 ΔΕΖ와 같다.
καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΓΒ περιφέρεια λοιπῇ τῇ ΔΖΕ περιφερείᾳ ἴση ἐστίν.
그러므로 남은 호 ΑΓΒ는 남은 호 ΔΖΕ와 같다.
ἐν ἄρα τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσας περιφερείας ἀφαιροῦσι τὴν μὲν μείζονα τῇ μείζονι τὴν δὲ ἐλάττονα τῇ ἐλάττονι·
그러므로 등원들에서 같은 직선들은 같은 호들을 잘라낸다, 큰 것은 큰 것과 같고 작은 것은 작은 것과 같게.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.
§3.prop.29ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις τὰς ἴσας περιφερείας ἴσαι εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν.
등원들에서 같은 호들을 같은 직선들이 마주한다.
ἔστωσαν ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ, καὶ ἐν αὐτοῖς ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν αἱ ΒΗΓ, ΕΘΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ, ΕΖ εὐθεῖαι·
등원 ΑΒΓ, ΔΕΖ가 있다 하고, 그것들 안에서 같은 호 ΒΗΓ, ΕΘΖ가 잘라내어졌다고 하자, 그리고 직선 ΒΓ, ΕΖ가 연결되었다고 하자.
λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ.
εἰλήφθω γὰρ τὰ κέντρα τῶν κύκλων, καὶ ἔστω τὰ Κ, Λ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΚ, ΚΓ, ΕΛ, ΛΖ.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΗΓ περιφέρεια τῇ ΕΘΖ περιφερείᾳ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΚΓ τῇ ὑπὸ ΕΛΖ. καὶ ἐπεὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ κύκλοι, ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ἐκ τῶν κέντρων·
나는 ΒΓ가 ΕΖ와 같다고 주장한다. 왜냐하면 원들의 중심이 잡혔다고 하고, 그것들을 Κ, Λ라 하자, 그리고 ΒΚ, ΚΓ, ΕΛ, ΛΖ가 연결되었다고 하자. 그리고 호 ΒΗΓ가 호 ΕΘΖ와 같으므로, 각 ΒΚΓ 역시 각 ΕΛΖ와 같다. 그리고 원 ΑΒΓ, ΔΕΖ가 같으므로, 중심들로부터의 직선들도 또한 같다.
δύο δὴ αἱ ΒΚ, ΚΓ δυσὶ ταῖς ΕΛ, ΛΖ ἴσαι εἰσίν·
그러므로 두 개의 ΒΚ, ΚΓ는 두 개의 ΕΛ, ΛΖ와 같다.
καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν·
그리고 그것들은 같은 각들을 끼고 있다.
βάσις ἄρα ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστίν.
그러므로 밑변 ΒΓ는 밑변 ΕΖ와 같다.
ἐν ἄρα τοῖς ἴσοις κύκλοις τὰς ἴσας περιφερείας ἴσαι εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν·
그러므로 등원들에서 같은 호들을 같은 직선들이 마주한다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.
§3.prop.30τὴν δοθεῖσαν περιφέρειαν δίχα τεμεῖν.
주어진 호를 이등분하기.
ἔστω ἡ δοθεῖσα περιφέρεια ἡ ΑΔΒ·
주어진 호를 ΑΔΒ라 하자.
δεῖ δὴ τὴν ΑΔΒ περιφέρειαν δίχα τεμεῖν.
호 ΑΔΒ를 이등분해야 한다.
ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΒ.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΓΔ, δύο δὴ αἱ ΑΓ, ΓΔ δυσὶ ταῖς ΒΓ, ΓΔ ἴσαι εἰσίν·
ΑΒ가 연결되었다고 하고, 그것이 Γ에서 이등분되었다고 하자. 그리고 점 Γ로부터 직선 ΑΒ에 직각으로 ΓΔ가 그어졌다고 하자, 그리고 ΑΔ, ΔΒ가 연결되었다고 하자. 그리고 ΑΓ는 ΓΒ와 같고, ΓΔ는 공통이므로, 두 개의 ΑΓ, ΓΔ는 두 개의 ΒΓ, ΓΔ와 같다.
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα·
그리고 각 ΑΓΔ는 각 ΒΓΔ와 같다, 왜냐하면 각자가 직각이기 때문이다.
βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΔΒ ἴση ἐστίν.
그러므로 밑변 ΑΔ는 밑변 ΔΒ와 같다.
αἱ δὲ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσας περιφερείας ἀφαιροῦσι τὴν μὲν μείζονα τῇ μείζονι τὴν δὲ ἐλάττονα τῇ ἐλάττονι·
그런데 같은 직선들은 같은 호들을 잘라낸다, 큰 것은 큰 것과 같고 작은 것은 작은 것과 같게.
καί ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΑΔ, ΔΒ περιφερειῶν ἐλάττων ἡμικυκλίου·
그리고 호 ΑΔ, ΔΒ의 각자는 반원보다 작다.
ἴση ἄρα ἡ ΑΔ περιφέρεια τῇ ΔΒ περιφερείᾳ.
그러므로 호 ΑΔ는 호 ΔΒ와 같다.
ἡ ἄρα δοθεῖσα περιφέρεια δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Δ σημεῖον·
그러므로 주어진 호는 점 Δ에서 이등분되었다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 만들고자 했던 바이다.