§3.prop.28ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσας περιφερείας ἀφαιροῦσι τὴν μὲν μείζονα τῇ μείζονι τὴν δὲ ἐλάττονα τῇ ἐλάττονι.
等しい円において、等しい直線は等しい弧を切り取る。 すなわち、大きい方は大きい方に、小さい方は小さい方に。
ἔστωσαν ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ, καὶ ἐν τοῖς κύκλοις ἴσαι εὐθεῖαι ἔστωσαν αἱ ΑΒ, ΔΕ τὰς μὲν ΑΓΒ, ΔΖΕ περιφερείας μείζονας ἀφαιροῦσαι τὰς δὲ ΑΗΒ, ΔΘΕ ἐλάττονας·
等しい円 ΑΒΓ, ΔΕΖ があるとし、これら円において等しい直線 ΑΒ, ΔΕ があるとし、それらは大きい方の弧 ΑΓΒ, ΔΖΕ を切り取り、小さい方の［弧］ ΑΗΒ, ΔΘΕ を切り取っているとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ μὲν ΑΓΒ μείζων περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ ΔΖΕ μείζονι περιφερείᾳ, ἡ δὲ ΑΗΒ ἐλάττων περιφέρεια τῇ ΔΘΕ.
εἰλήφθω γὰρ τὰ κέντρα τῶν κύκλων τὰ Κ, Λ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΚ, ΚΒ, ΔΛ, ΛΕ.
καὶ ἐπεὶ ἴσοι κύκλοι εἰσίν, ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ἐκ τῶν κέντρων·
私は、大きい方の弧 ΑΓΒ は大きい方の弧 ΔΖΕ に等しく、小さい方の弧 ΑΗΒ は小さい方の弧 ΔΘΕ に等しいと主張する。 なぜなら、円の中心 Κ, Λ が取られたとせよ、そして ΑΚ, ΚΒ, ΔΛ, ΛΕ が結ばれたとせよ。 そして、円が等しいから、中心からの［直線］もまた等しい。
δύο δὴ αἱ ΑΚ, ΚΒ δυσὶ ταῖς ΔΛ, ΛΕ ἴσαι εἰσίν·
したがって、2つの ΑΚ, ΚΒ は2つの ΔΛ, ΛΕ に等しい。
καὶ βάσις ἡ ΑΒ βάσει τῇ ΔΕ ἴση·
また底辺 ΑΒ は底辺 ΔΕ に等しい。
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΚΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΛΕ ἴση ἐστίν.
したがって角 ΑΚΒ は角 ΔΛΕ に等しい。
αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν, ὅταν πρὸς τοῖς κέντροις ὦσιν·
ところで、等しい角は、それらが中心にあるときには等しい弧の上に乗る。
ἴση ἄρα ἡ ΑΗΒ περιφέρεια τῇ ΔΘΕ. ἐστὶ δὲ καὶ ὅλος ὁ ΑΒΓ κύκλος ὅλῳ τῷ ΔΕΖ κύκλῳ ἴσος·
したがって、弧 ΑΗΒ は弧 ΔΘΕ に等しい。 また、円 ΑΒΓ 全体も円 ΔΕΖ 全体に等しい。
καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΓΒ περιφέρεια λοιπῇ τῇ ΔΖΕ περιφερείᾳ ἴση ἐστίν.
したがって、残りの弧 ΑΓΒ も残りの弧 ΔΖΕ に等しい。
ἐν ἄρα τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσας περιφερείας ἀφαιροῦσι τὴν μὲν μείζονα τῇ μείζονι τὴν δὲ ἐλάττονα τῇ ἐλάττονι·
したがって、等しい円において、等しい直線は等しい弧を切り取る。 すなわち、大きい方は大きい方に、小さい方は小さい方に。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきであった。
§3.prop.29ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις τὰς ἴσας περιφερείας ἴσαι εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν.
等しい円において、等しい弧を、等しい直線が張る。
ἔστωσαν ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ, καὶ ἐν αὐτοῖς ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν αἱ ΒΗΓ, ΕΘΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ, ΕΖ εὐθεῖαι·
等しい円 ΑΒΓ, ΔΕΖ があるとし、それらにおいて等しい弧 ΒΗΓ, ΕΘΖ が切り取られたとし、直線 ΒΓ, ΕΖ が結ばれたとせよ。
λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ.
εἰλήφθω γὰρ τὰ κέντρα τῶν κύκλων, καὶ ἔστω τὰ Κ, Λ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΚ, ΚΓ, ΕΛ, ΛΖ.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΗΓ περιφέρεια τῇ ΕΘΖ περιφερείᾳ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΚΓ τῇ ὑπὸ ΕΛΖ. καὶ ἐπεὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ κύκλοι, ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ἐκ τῶν κέντρων·
私は、ΒΓ は ΕΖ に等しいと主張する。 なぜなら、円の中心が取られたとせよ、それを Κ, Λ とし、ΒΚ, ΚΓ, ΕΛ, ΛΖ が結ばれたとせよ。 そして、弧 ΒΗΓ は弧 ΕΘΖ に等しいから、角 ΒΚΓ もまた角 ΕΛΖ に等しい。 そして、円 ΑΒΓ, ΔΕΖ は等しいから、中心からの［直線］もまた等しい。
δύο δὴ αἱ ΒΚ, ΚΓ δυσὶ ταῖς ΕΛ, ΛΖ ἴσαι εἰσίν·
したがって、2つの ΒΚ, ΚΓ は2つの ΕΛ, ΛΖ に等しい。
καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν·
そしてそれらは等しい角を挟んでいる。
βάσις ἄρα ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστίν.
したがって底辺 ΒΓ は底辺 ΕΖ に等しい。
ἐν ἄρα τοῖς ἴσοις κύκλοις τὰς ἴσας περιφερείας ἴσαι εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν·
したがって、等しい円において、等しい弧を等しい直線が張る。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきであった。
§3.prop.30τὴν δοθεῖσαν περιφέρειαν δίχα τεμεῖν.
与えられた弧を二等分すること。
ἔστω ἡ δοθεῖσα περιφέρεια ἡ ΑΔΒ·
与えられた弧を ΑΔΒ とせよ。
δεῖ δὴ τὴν ΑΔΒ περιφέρειαν δίχα τεμεῖν.
弧 ΑΔΒ を二等分せねばならない。
ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΒ.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΓΔ, δύο δὴ αἱ ΑΓ, ΓΔ δυσὶ ταῖς ΒΓ, ΓΔ ἴσαι εἰσίν·
ΑΒ が結ばれたとせよ。 そして、それは Γ において二等分されたとせよ。 そして点 Γ から直線 ΑΒ に直角に ΓΔ が引かれたとせよ。 そして ΑΔ, ΔΒ が結ばれたとせよ。 そして、ΑΓ は ΓΒ に等しく、ΓΔ は共通であるから、2つの ΑΓ, ΓΔ は2つの ΒΓ, ΓΔ に等しい。
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα·
そして角 ΑΓΔ は角 ΒΓΔ に等しい（なぜなら各々は直角であるから）。
βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΔΒ ἴση ἐστίν.
したがって底辺 ΑΔ は底辺 ΔΒ に等しい。
αἱ δὲ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσας περιφερείας ἀφαιροῦσι τὴν μὲν μείζονα τῇ μείζονι τὴν δὲ ἐλάττονα τῇ ἐλάττονι·
ところで、等しい直線は等しい弧を切り取る。 すなわち、大きい方は大きい方に、小さい方は小さい方に。
καί ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΑΔ, ΔΒ περιφερειῶν ἐλάττων ἡμικυκλίου·
そして弧 ΑΔ, ΔΒ の各々は半円より小さい。
ἴση ἄρα ἡ ΑΔ περιφέρεια τῇ ΔΒ περιφερείᾳ.
したがって弧 ΑΔ は弧 ΔΒ に等しい。
ἡ ἄρα δοθεῖσα περιφέρεια δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Δ σημεῖον·
したがって、与えられた弧は点 Δ において二等分された。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これがなすべきことであった。