§3.prop.26ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν, ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι.
등원들에서 같은 각들은 같은 호들 위에 놓인다, 그것들이 중심들에 놓이든 원주들에 놓이든 간에.
ἔστωσαν ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ καὶ ἐν αὐτοῖς ἴσαι γωνίαι ἔστωσαν πρὸς μὲν τοῖς κέντροις αἱ ὑπὸ ΒΗΓ, ΕΘΖ, πρὸς δὲ ταῖς περιφερείαις αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΕΔΖ·
등원 ΑΒΓ, ΔΕΖ가 있다 하고, 그것들 안에 중심들에 있는 각들 ΒΗΓ, ΕΘΖ와 원주들에 있는 각들 ΒΑΓ, ΕΔΖ가 서로 같다고 하자.
λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΚΓ περιφέρεια τῇ ΕΛΖ περιφερείᾳ.
나는 호 ΒΚΓ가 호 ΕΛΖ와 같다고 주장한다.
ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΓ, ΕΖ.
καὶ ἐπεὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ κύκλοι, ἴσαι εἰσὶν αἱ ἐκ τῶν κέντρων·
왜냐하면 ΒΓ, ΕΖ가 연결되었다고 하자. 그리고 원 ΑΒΓ, ΔΕΖ가 같으므로, 중심들로부터의 직선들은 같다.
δύο δὴ αἱ ΒΗ, ΗΓ δύο ταῖς ΕΘ, ΘΖ ἴσαι·
그러므로 두 개의 ΒΗ, ΗΓ는 두 개의 ΕΘ, ΘΖ와 같다.
καὶ γωνία ἡ πρὸς τῷ η γωνίᾳ τῇ πρὸς τῷ Θ ἴση·
그리고 Η에 있는 각은 Θ에 있는 각과 같다.
βάσις ἄρα ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ ἐστιν ἴση.
그러므로 밑변 ΒΓ는 밑변 ΕΖ와 같다.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία τῇ πρὸς τῷ Δ, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΑΓ τμῆμα τῷ ΕΔΖ τμήματι·
또한 Α에 있는 각이 Δ에 있는 각과 같으므로, 그러므로 활꼴 ΒΑΓ는 활꼴 ΕΔΖ와 닮음이다.
καί εἰσιν ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν·
그리고 그것들은 같은 직선들 위에 있다.
τὰ δὲ ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν ὅμοια τμήματα κύκλων ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
그런데 같은 직선들 위의 닮음인 원의 활꼴들은 서로 같다.
ἴσον ἄρα τὸ ΒΑΓ τμῆμα τῷ ΕΔΖ. ἔστι δὲ καὶ ὅλος ὁ ΑΒΓ κύκλος ὅλῳ τῷ ΔΕΖ κύκλῳ ἴσος·
그러므로 활꼴 ΒΑΓ는 ΕΔΖ와 같다. 그런데 전체 원 ΑΒΓ 역시 전체 원 ΔΕΖ와 같다.
λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΚΓ περιφέρεια τῇ ΕΛΖ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση.
그러므로 남은 호 ΒΚΓ는 호 ΕΛΖ와 같다.
ἐν ἄρα τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν, ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι·
그러므로 등원들에서 같은 각들은 같은 호들 위에 놓인다, 그것들이 중심들에 놓이든 원주들에 놓이든 간에.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.
§3.prop.27ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβηκυῖαι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι.
등원들에서 같은 호들 위에 놓인 각들은 서로 같다, 그것들이 중심들에 놓이든 원주들에 놓이든 간에.
ἐν γὰρ ἴσοις κύκλοις τοῖς ΑΒΓ, ΔΕΖ ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν τῶν ΒΓ, ΕΖ πρὸς μὲν τοῖς Η, Θ κέντροις γωνίαι βεβηκέτωσαν αἱ ὑπὸ ΒΗΓ, ΕΘΖ, πρὸς δὲ ταῖς περιφερείαις αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΕΔΖ·
왜냐하면 등원 ΑΒΓ, ΔΕΖ에서 같은 호 ΒΓ, ΕΖ 위에 중심 Η, Θ에서는 각 ΒΗΓ, ΕΘΖ가 놓여 있고 원주에서는 각 ΒΑΓ, ΕΔΖ가 놓여 있다고 하자.
λέγω, ὅτι ἡ μὲν ὑπὸ ΒΗΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΘΖ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἐστιν ἴση.
나는 각 ΒΗΓ는 각 ΕΘΖ와 같고, 각 ΒΑΓ는 각 ΕΔΖ와 같다고 주장한다.
εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΗΓ τῇ ὑπὸ ΕΘΖ, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν.
왜냐하면 만약 각 ΒΗΓ가 각 ΕΘΖ와 같지 않다면, 그것들 중 하나가 더 크다.
ἔστω μείζων ἡ ὑπὸ ΒΗΓ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΒΗ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Η τῇ ὑπὸ ΕΘΖ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΗΚ·
각 ΒΗΓ가 더 크다고 하고, 직선 ΒΗ와 그 위의 점 Η에서 각 ΕΘΖ와 같은 각 ΒΗΚ를 구성하자.
αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν, ὅταν πρὸς τοῖς κέντροις ὦσιν·
그런데 같은 각들은 그것들이 중심들에 있을 때 같은 호들 위에 놓인다.
ἴση ἄρα ἡ ΒΚ περιφέρεια τῇ ΕΖ περιφερείᾳ.
그러므로 호 ΒΚ는 호 ΕΖ와 같다.
ἀλλὰ ἡ ΕΖ τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση·
그런데 ΕΖ는 ΒΓ와 같다.
καὶ ἡ ΒΚ ἄρα τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι·
그러므로 ΒΚ 역시 ΒΓ와 같게 되니, 더 작은 것이 더 큰 것과 같게 된다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이는 불가능하다.
οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΘΖ·
그러므로 각 ΒΗΓ는 각 ΕΘΖ와 같지 않지 않다.
ἴση ἄρα.
그러므로 같다.
καί ἐστι τῆς μὲν ὑπὸ ΒΗΓ ἡμίσεια ἡ πρὸς τῷ Α, τῆς δὲ ὑπὸ ΕΘΖ ἡμίσεια ἡ πρὸς τῷ Δ·
그리고 Α에 있는 각은 각 ΒΗΓ의 절반이고, Δ에 있는 각은 각 ΕΘΖ의 절반이다.
ἴση ἄρα καὶ ἡ πρὸς τῷ Α γωνία τῇ πρὸς τῷ Δ.
ἐν ἄρα τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβηκυῖαι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι·
그러므로 Α에 있는 각 역시 Δ에 있는 각과 같다. 그러므로 등원들에서 같은 호들 위에 놓인 각들은 서로 같다, 그것들이 중심들에 놓이든 원주들에 놓이든 간에.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.