§3.prop.26ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν, ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι.
等しい円において、等しい角は等しい弧の上に乗る。 それらが中心に乗っていようとも、あるいは円周に乗っていようとも。
ἔστωσαν ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ καὶ ἐν αὐτοῖς ἴσαι γωνίαι ἔστωσαν πρὸς μὲν τοῖς κέντροις αἱ ὑπὸ ΒΗΓ, ΕΘΖ, πρὸς δὲ ταῖς περιφερείαις αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΕΔΖ·
等しい円 ΑΒΓ, ΔΕΖ があるとし、それらにおいて中心にある等しい角を ΒΗΓ, ΕΘΖ とし、円周にある［等しい角］を ΒΑΓ, ΕΔΖ とせよ。
λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΚΓ περιφέρεια τῇ ΕΛΖ περιφερείᾳ.
私は、弧 ΒΚΓ は弧 ΕΛΖ に等しいと主張する。
ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΓ, ΕΖ.
καὶ ἐπεὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ κύκλοι, ἴσαι εἰσὶν αἱ ἐκ τῶν κέντρων·
なぜなら、ΒΓ, ΕΖ が結ばれたとせよ。 そして、円 ΑΒΓ, ΔΕΖ は等しいから、中心からの［直線］は等しい。
δύο δὴ αἱ ΒΗ, ΗΓ δύο ταῖς ΕΘ, ΘΖ ἴσαι·
したがって、2つの ΒΗ, ΗΓ は2つの ΕΘ, ΘΖ に等しい。
καὶ γωνία ἡ πρὸς τῷ η γωνίᾳ τῇ πρὸς τῷ Θ ἴση·
また Η における角は Θ における角に等しい。
βάσις ἄρα ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ ἐστιν ἴση.
したがって、底辺 ΒΓ は底辺 ΕΖ に等しい。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία τῇ πρὸς τῷ Δ, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΑΓ τμῆμα τῷ ΕΔΖ τμήματι·
また、Α における角は Δ における角に等しいから、したがって弓形 ΒΑΓ は弓形 ΕΔΖ に相似である。
καί εἰσιν ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν·
そしてそれらは等しい直線の上にある。
τὰ δὲ ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν ὅμοια τμήματα κύκλων ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
ところで、等しい直線上の、相似な円の弓形は互いに等しい。
ἴσον ἄρα τὸ ΒΑΓ τμῆμα τῷ ΕΔΖ. ἔστι δὲ καὶ ὅλος ὁ ΑΒΓ κύκλος ὅλῳ τῷ ΔΕΖ κύκλῳ ἴσος·
したがって、弓形 ΒΑΓ は ΕΔΖ に等しい。 また、円 ΑΒΓ 全体も円 ΔΕΖ 全体に等しい。
λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΚΓ περιφέρεια τῇ ΕΛΖ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση.
したがって、残りの弧 ΒΚΓ は弧 ΕΛΖ に等しい。
ἐν ἄρα τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν, ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι·
したがって、等しい円において、等しい角は等しい弧の上に乗る。 それらが中心にあろうとも円周にあろうとも。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきであった。
§3.prop.27ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβηκυῖαι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι.
等しい円において、等しい弧の上に立つ角は、互いに等しい。 それらが中心にあろうとも、円周にあろうとも。
ἐν γὰρ ἴσοις κύκλοις τοῖς ΑΒΓ, ΔΕΖ ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν τῶν ΒΓ, ΕΖ πρὸς μὲν τοῖς Η, Θ κέντροις γωνίαι βεβηκέτωσαν αἱ ὑπὸ ΒΗΓ, ΕΘΖ, πρὸς δὲ ταῖς περιφερείαις αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΕΔΖ·
なぜなら、等しい円 ΑΒΓ, ΔΕΖ において、等しい弧 ΒΓ, ΕΖ の上に、中心 Η, Θ においては角 ΒΗΓ, ΕΘΖ が立ち、円周においては［角］ ΒΑΓ, ΕΔΖ が立っているとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ μὲν ὑπὸ ΒΗΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΘΖ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἐστιν ἴση.
私は、角 ΒΗΓ は角 ΕΘΖ に等しく、角 ΒΑΓ は角 ΕΔΖ に等しいと主張する。
εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΗΓ τῇ ὑπὸ ΕΘΖ, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν.
なぜなら、もし角 ΒΗΓ が角 ΕΘΖ に等しくないならば、それらのうちの一方が大きい。
ἔστω μείζων ἡ ὑπὸ ΒΗΓ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΒΗ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Η τῇ ὑπὸ ΕΘΖ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΗΚ·
角 ΒΗΓ の方が大きいとし、直線 ΒΗ の上の、その上にある点 Η において、角 ΕΘΖ に等しい角 ΒΗΚ が作られたとせよ。
αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν, ὅταν πρὸς τοῖς κέντροις ὦσιν·
ところで、等しい角は、中心にあるときには等しい弧の上に乗る。
ἴση ἄρα ἡ ΒΚ περιφέρεια τῇ ΕΖ περιφερείᾳ.
したがって、弧 ΒΚ は弧 ΕΖ に等しい。
ἀλλὰ ἡ ΕΖ τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση·
ところが ΕΖ は ΒΓ に等しい。
καὶ ἡ ΒΚ ἄρα τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι·
したがって ΒΚ も ΒΓ に等しい、すなわち小さい方が大きい方に［等しいことになる］。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΘΖ·
したがって、角 ΒΗΓ は角 ΕΘΖ に等しくなくはない。
ἴση ἄρα.
したがって等しい。
καί ἐστι τῆς μὲν ὑπὸ ΒΗΓ ἡμίσεια ἡ πρὸς τῷ Α, τῆς δὲ ὑπὸ ΕΘΖ ἡμίσεια ἡ πρὸς τῷ Δ·
そして、Α における角は ΒΗΓ の半分であり、Δ における角は ΕΘΖ の半分である。
ἴση ἄρα καὶ ἡ πρὸς τῷ Α γωνία τῇ πρὸς τῷ Δ.
ἐν ἄρα τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβηκυῖαι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι·
したがって、Α における角も Δ における角に等しい。 したがって、等しい円において、等しい弧の上に立つ角は、互いに等しい。 それらが中心にあろうとも円周にあろうとも。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきであった。