§3.prop.23ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο τμήματα κύκλων ὅμοια καὶ ἄνισα οὐ συσταθήσεται ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη.
在同一直线上，在相同的一侧，不能构造两个相似且不相等的圆弓形。
εἰ γὰρ δυνατόν, ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΒ δύο τμήματα κύκλων ὅμοια καὶ ἄνισα συνεστάτω ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ ΑΓΒ, ΑΔΒ, καὶ διήχθω ἡ ΑΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΒ, ΔΒ.
ἐπεὶ οὖν ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΓΒ τμῆμα τῷ ΑΔΒ τμήματι, ὅμοια δὲ τμήματα κύκλων ἐστὶ τὰ δεχόμενα γωνίας ἴσας, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΔΒ ἡ ἐκτὸς τῇ ἐντός· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
因为，如果可能，设在同一直线 ΑΒ 上，在相同的一侧构造了两个相似且不相等的圆弓形 ΑΓΒ、ΑΔΒ，并设引出 ΑΓΔ，连结 ΓΒ、ΔΒ。 由于弓形 ΑΓΒ 与弓形 ΑΔΒ 相似，且相似的圆弓形是那些容纳相等角的弓形，因此角 ΑΓΒ 等于角 ΑΔΒ，即外角等于内角；这是不可能的。
οὐκ ἄρα ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο τμήματα κύκλων ὅμοια καὶ ἄνισα συσταθήσεται ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，在同一直线上，在相同的一侧，不能构造两个相似且不相等的圆弓形；这就是所要证明的。
§3.prop.24τὰ ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν ὅμοια τμήματα κύκλων ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
在相等直线上的相似圆弓形彼此相等。
ἔστωσαν γὰρ ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΓΔ ὅμοια τμήματα κύκλων τὰ ΑΕΒ, ΓΖΔ· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΕΒ τμῆμα τῷ ΓΖΔ τμήματι.
因为，设在相等直线 ΑΒ、ΓΔ 上有相似的圆弓形 ΑΕΒ、ΓΖΔ；我说，弓形 ΑΕΒ 等于弓形 ΓΖΔ。
Ἐφαρμοζομένου γὰρ τοῦ ΑΕΒ τμήματος ἐπὶ τὸ ΓΖΔ καὶ τιθεμένου τοῦ μὲν Α σημείου ἐπὶ τὸ Γ τῆς δὲ ΑΒ εὐθείας ἐπὶ τὴν ΓΔ, ἐφαρμόσει καὶ τὸ Β σημεῖον ἐπὶ τὸ Δ σημεῖον διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΑΒ τῇ ΓΔ· τῆς δὲ ΑΒ ἐπὶ τὴν ΓΔ ἐφαρμοσάσης ἐφαρμόσει καὶ τὸ ΑΕΒ τμῆμα ἐπὶ τὸ ΓΖΔ. εἰ γὰρ ἡ ΑΒ εὐθεῖα ἐπὶ τὴν ΓΔ ἐφαρμόσει, τὸ δὲ ΑΕΒ τμῆμα ἐπὶ τὸ ΓΖΔ μὴ ἐφαρμόσει, ἤτοι ἐντὸς αὐτοῦ πεσεῖται ἢ ἐκτὸς ἢ παραλλάξει ὡς τὸ ΓΗΔ, καὶ κύκλος κύκλον τέμνει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
因为，若将弓形 ΑΕΒ 重合于 ΓΖΔ 上，且将点 Α 置于 Γ 上，直线 ΑΒ 置于 ΓΔ 上，则点 Β 也将重合于点 Δ，因为 ΑΒ 等于 ΓΔ；由于 ΑΒ 与 ΓΔ 重合，弓形 ΑΕΒ 也将重合于 ΓΖΔ。 因为若直线 ΑΒ 与 ΓΔ 重合，而弓形 ΑΕΒ 与 ΓΖΔ 不重合，它要么落在其内部，要么落在其外部，或者像 ΓΗΔ 那样交错，这样圆就会在多于两个点上与圆相交；这是不可能的。
οὐκ ἄρα ἐφαρμοζομένης τῆς ΑΒ εὐθείας ἐπὶ τὴν ΓΔ οὐκ ἐφαρμόσει καὶ τὸ ΑΕΒ τμῆμα ἐπὶ τὸ ΓΖΔ· ἐφαρμόσει ἄρα, καὶ ἴσον αὐτῷ ἔσται.
因此，在直线 ΑΒ 与 ΓΔ 重合时，弓形 ΑΕΒ 不会不重合于 ΓΖΔ；所以它将重合，并且与其相等。
τὰ ἄρα ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν ὅμοια τμήματα κύκλων ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，在相等直线上的相似圆弓形彼此相等；这就是所要证明的。
§3.prop.25κύκλου τμήματος δοθέντος προσαναγράψαι τὸν κύκλον, οὗπέρ ἐστι τμῆμα.
已知一个圆的弓形，描绘出它是其一部分的那个圆。
ἔστω τὸ δοθὲν τμῆμα κύκλου τὸ ΑΒΓ· δεῖ δὴ τοῦ ΑΒΓ τμήματος προσαναγράψαι τὸν κύκλον, οὗπέρ ἐστι τμῆμα.
设所给的圆的弓形为 ΑΒΓ；现在需要对弓形 ΑΒΓ 描绘出它是其一部分的那个圆。
τετμήσθω γὰρ ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Δ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ σημείου τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ· ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία ἄρα τῆς ὑπὸ ΒΑΔ ἤτοι μείζων ἐστὶν ἢ ἴση ἢ ἐλάττων.
因为，设 ΑΓ 在 Δ 处被二等分，且从点 Δ 作 ΔΒ 垂直于 ΑΓ，连结 ΑΒ；于是角 ΑΒΔ 要么大于、要么等于、要么小于角 ΒΑΔ。
ἔστω πρότερον μείζων, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΒΑ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΑΒΔ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΕ, καὶ διήχθω ἡ ΔΒ ἐπὶ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΑΕ, ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΒ εὐθεῖα τῇ ΕΑ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ, κοινὴ δὲ ἡ ΔΕ, δύο δὴ αἱ ΑΔ, ΔΕ δύο ταῖς ΓΔ, ΔΕ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΔΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΔΕ ἐστιν ἴση· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα· βάσις ἄρα ἡ ΑΕ βάσει τῇ ΓΕ ἐστιν ἴση.
首先设它较大，并在直线 ΒΑ 上以及在其上的点 Α 处，构造等于角 ΑΒΔ 的角 ΒΑΕ，并设 ΔΒ 延长至 Ε，连结 ΕΓ。 由于角 ΑΒΕ 等于角 ΒΑΕ，所以直线 ΕΒ 也等于 ΕΑ。 且由于 ΑΔ 等于 ΔΓ，且 ΔΕ 是公共的，所以两个 ΑΔ、ΔΕ 分别等于两个 ΓΔ、ΔΕ；且角 ΑΔΕ 等于角 ΓΔΕ，因为每一个都是直角；因此底边 ΑΕ 等于底边 ΓΕ。
ἀλλὰ ἡ ΑΕ τῇ ΒΕ ἐδείχθη ἴση· καὶ ἡ ΒΕ ἄρα τῇ ΓΕ ἐστιν ἴση· αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΑΕ, ΕΒ, ΕΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν·
但 ΑΕ 已被证明等于 ΒΕ；所以 ΒΕ 也等于 ΓΕ；因此 ΑΕ、ΕΒ、ΕΓ 这三者彼此相等。
ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ε διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν ΑΕ, ΕΒ, ΕΓ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων καὶ ἔσται προσαναγεγραμμένος.
所以以 Ε 为圆心，以 ΑΕ、ΕΒ、ΕΓ 中任一者为半径所画的圆也将通过其余的点并被描绘出来。
κύκλου ἄρα τμήματος δοθέντος προσαναγέγραπται ὁ κύκλος.
因此，已知一个圆的弓形，该圆已被描绘。
καὶ δῆλον, ὡς τὸ ΑΒΓ τμῆμα ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυκλίου διὰ τὸ τὸ Ε κέντρον ἐκτὸς αὐτοῦ τυγχάνειν.
且显然，由于圆心 Ε 恰好在其外部，弓形 ΑΒΓ 小于半圆。
ὁμοίως κἂν ᾖ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία ἴση τῇ ὑπὸ ΒΑΔ, τῆς ΑΔ ἴσης γενομένης ἑκατέρᾳ τῶν ΒΔ, ΔΓ αἱ τρεῖς αἱ ΔΑ, ΔΒ, ΔΓ ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται, καὶ ἔσται τὸ Δ κέντρον τοῦ προσαναπεπληρωμένου κύκλου, καὶ δηλαδὴ ἔσται τὸ ΑΒΓ ἡμικύκλιον.
同理，即使角 ΑΒΔ 等于 ΒΑΔ，由于 ΑΔ 变得等于 ΒΔ、ΔΓ 中的每一个，则 ΔΑ、ΔΒ、ΔΓ 这三者彼此相等，且 Δ 将是补全的圆的圆心，显而易见，ΑΒΓ 将是半圆。
ἐὰν δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ ἐλάττων ᾖ τῆς ὑπὸ ΒΑΔ, καὶ συστησώμεθα πρὸς τῇ ΒΑ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΑΒΔ γωνίᾳ ἴσην, ἐντὸς τοῦ ΑΒΓ τμήματος πεσεῖται τὸ κέντρον ἐπὶ τῆς ΔΒ, καὶ ἔσται δηλαδὴ τὸ ΑΒΓ τμῆμα μεῖζον ἡμικυκλίου.
但如果角 ΑΒΔ 小于 ΒΑΔ，且我们在直线 ΒΑ 上以及在其上的点 Α 处构造一个等于角 ΑΒΔ 的角，圆心将落在 ΔΒ 上、弓形 ΑΒΓ 的内部，且显而易见，弓形 ΑΒΓ 将大于半圆。
κύκλου ἄρα τμήματος δοθέντος προσαναγέγραπται ὁ κύκλος· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
因此，已知一个圆的弓形，该圆已被描绘；这就是所要做的事。