§3.prop.23ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο τμήματα κύκλων ὅμοια καὶ ἄνισα οὐ συσταθήσεται ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη.
같은 직선 위에, 같은 쪽에, 닮음이면서 같지 않은 두 개의 원의 활꼴은 구성되지 않을 것이다.
εἰ γὰρ δυνατόν, ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΒ δύο τμήματα κύκλων ὅμοια καὶ ἄνισα συνεστάτω ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ ΑΓΒ, ΑΔΒ, καὶ διήχθω ἡ ΑΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΒ, ΔΒ.
ἐπεὶ οὖν ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΓΒ τμῆμα τῷ ΑΔΒ τμήματι, ὅμοια δὲ τμήματα κύκλων ἐστὶ τὰ δεχόμενα γωνίας ἴσας, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΔΒ ἡ ἐκτὸς τῇ ἐντός·
왜냐하면 만약 가능하다면, 같은 직선 ΑΒ 위에, 같은 쪽에 닮음이면서 같지 않은 두 개의 원의 활꼴 ΑΓΒ, ΑΔΒ가 구성되었다고 하고, ΑΓΔ를 긋고, ΓΒ, ΔΒ를 연결하자. 그러므로 활꼴 ΑΓΒ가 활꼴 ΑΔΒ와 닮음이고, 닮음인 원의 활꼴이란 같은 각을 받아들이는 것들이므로, 그러므로 각 ΑΓΒ는 각 ΑΔΒ와 같게 되니, 외각이 내각과 같게 된다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이는 불가능하다.
οὐκ ἄρα ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο τμήματα κύκλων ὅμοια καὶ ἄνισα συσταθήσεται ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη·
그러므로 같은 직선 위에, 같은 쪽에, 닮음이면서 같지 않은 두 개의 원의 활꼴은 구성되지 않을 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.
§3.prop.24τὰ ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν ὅμοια τμήματα κύκλων ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
등선들 위의 닮음인 원의 활꼴들은 서로 같다.
ἔστωσαν γὰρ ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΓΔ ὅμοια τμήματα κύκλων τὰ ΑΕΒ, ΓΖΔ·
왜냐하면 같은 직선 ΑΒ, ΓΔ 위에 닮음인 원의 활꼴 ΑΕΒ, ΓΖΔ가 있다고 하자.
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΕΒ τμῆμα τῷ ΓΖΔ τμήματι.
나는 활꼴 ΑΕΒ가 활꼴 ΓΖΔ와 같다고 주장한다.
Ἐφαρμοζομένου γὰρ τοῦ ΑΕΒ τμήματος ἐπὶ τὸ ΓΖΔ καὶ τιθεμένου τοῦ μὲν Α σημείου ἐπὶ τὸ Γ τῆς δὲ ΑΒ εὐθείας ἐπὶ τὴν ΓΔ, ἐφαρμόσει καὶ τὸ Β σημεῖον ἐπὶ τὸ Δ σημεῖον διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΑΒ τῇ ΓΔ·
왜냐하면 활꼴 ΑΕΒ를 ΓΖΔ에 포개어 놓고, 점 Α를 점 Γ 위에, 직선 ΑΒ를 ΓΔ 위에 둘 때, 점 Β 역시 점 Δ 위에 포개어질 것인데, 왜냐하면 ΑΒ가 ΓΔ와 같기 때문이다.
τῆς δὲ ΑΒ ἐπὶ τὴν ΓΔ ἐφαρμοσάσης ἐφαρμόσει καὶ τὸ ΑΕΒ τμῆμα ἐπὶ τὸ ΓΖΔ. εἰ γὰρ ἡ ΑΒ εὐθεῖα ἐπὶ τὴν ΓΔ ἐφαρμόσει, τὸ δὲ ΑΕΒ τμῆμα ἐπὶ τὸ ΓΖΔ μὴ ἐφαρμόσει, ἤτοι ἐντὸς αὐτοῦ πεσεῖται ἢ ἐκτὸς ἢ παραλλάξει ὡς τὸ ΓΗΔ, καὶ κύκλος κύκλον τέμνει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο·
그리고 ΑΒ가 ΓΔ 위에 포개어질 때, 활꼴 ΑΕΒ 역시 ΓΖΔ 위에 포개어질 것이다. 왜냐하면 만약 직선 ΑΒ가 ΓΔ 위에 포개어지는데 활꼴 ΑΕΒ가 ΓΖΔ 위에 포개어지지 않는다면, 그것은 그것의 안쪽에 떨어지거나 바깥쪽에 떨어지거나 혹은 ΓΗΔ처럼 어긋날 것이며, 원이 원을 둘보다 많은 점에서 자르게 될 것이다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이는 불가능하다.
οὐκ ἄρα ἐφαρμοζομένης τῆς ΑΒ εὐθείας ἐπὶ τὴν ΓΔ οὐκ ἐφαρμόσει καὶ τὸ ΑΕΒ τμῆμα ἐπὶ τὸ ΓΖΔ·
그러므로 직선 ΑΒ가 ΓΔ 위에 포개어질 때 활꼴 ΑΕΒ가 ΓΖΔ 위에 포개어지지 않는 일은 없다.
ἐφαρμόσει ἄρα, καὶ ἴσον αὐτῷ ἔσται.
그러므로 포개어질 것이며, 그것과 같을 것이다.
τὰ ἄρα ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν ὅμοια τμήματα κύκλων ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
그러므로 등선들 위의 닮음인 원의 활꼴들은 서로 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.
§3.prop.25κύκλου τμήματος δοθέντος προσαναγράψαι τὸν κύκλον, οὗπέρ ἐστι τμῆμα.
원의 활꼴이 주어졌을 때, 그것이 그것의 활꼴인 그 원을 그려 넣는 것.
ἔστω τὸ δοθὲν τμῆμα κύκλου τὸ ΑΒΓ·
주어진 원의 활꼴을 ΑΒΓ라 하자.
δεῖ δὴ τοῦ ΑΒΓ τμήματος προσαναγράψαι τὸν κύκλον, οὗπέρ ἐστι τμῆμα.
활꼴 ΑΒΓ에 대하여 그것이 그것의 활꼴인 원을 그려 넣어야 한다.
τετμήσθω γὰρ ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Δ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ σημείου τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ·
왜냐하면 ΑΓ가 Δ에서 이등분되고, 점 Δ로부터 ΑΓ에 수직인 ΔΒ가 그어지고, ΑΒ가 연결되었다고 하자.
ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία ἄρα τῆς ὑπὸ ΒΑΔ ἤτοι μείζων ἐστὶν ἢ ἴση ἢ ἐλάττων.
그러므로 각 ΑΒΔ는 각 ΒΑΔ보다 크거나 같거나 작다.
ἔστω πρότερον μείζων, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΒΑ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΑΒΔ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΕ, καὶ διήχθω ἡ ΔΒ ἐπὶ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΑΕ, ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΒ εὐθεῖα τῇ ΕΑ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ, κοινὴ δὲ ἡ ΔΕ, δύο δὴ αἱ ΑΔ, ΔΕ δύο ταῖς ΓΔ, ΔΕ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
먼저 크다고 하고, 직선 ΒΑ와 그 위의 점 Α에서 각 ΑΒΔ와 같은 각 ΒΑΕ를 구성하고, ΔΒ를 Ε까지 연장하며, ΕΓ를 연결하자. 그러므로 각 ΑΒΕ가 각 ΒΑΕ와 같으므로, 직선 ΕΒ 역시 ΕΑ와 같다. 그리고 ΑΔ가 ΔΓ와 같고, ΔΕ가 공통이므로, 두 개의 ΑΔ, ΔΕ는 두 개의 ΓΔ, ΔΕ와 각각 같다.
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΔΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΔΕ ἐστιν ἴση· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα·
그리고 각 ΑΔΕ는 각 ΓΔΕ와 같으니, 왜냐하면 각각 직각이기 때문이다.
βάσις ἄρα ἡ ΑΕ βάσει τῇ ΓΕ ἐστιν ἴση.
그러므로 밑변 ΑΕ는 밑변 ΓΕ와 같다.
ἀλλὰ ἡ ΑΕ τῇ ΒΕ ἐδείχθη ἴση·
그런데 ΑΕ가 ΒΕ와 같음이 증명되었다.
καὶ ἡ ΒΕ ἄρα τῇ ΓΕ ἐστιν ἴση·
그러므로 ΒΕ 역시 ΓΕ와 같다.
αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΑΕ, ΕΒ, ΕΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν·
그러므로 세 개의 ΑΕ, ΕΒ, ΕΓ는 서로 같다.
ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ε διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν ΑΕ, ΕΒ, ΕΓ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων καὶ ἔσται προσαναγεγραμμένος.
그러므로 중심이 Ε이고 ΑΕ, ΕΒ, ΕΓ 중 하나의 거리로 그려진 원은 남은 점들을 지나며 그려 넣어질 것이다.
κύκλου ἄρα τμήματος δοθέντος προσαναγέγραπται ὁ κύκλος.
그러므로 원의 활꼴이 주어졌을 때 그 원이 그려 넣어졌다.
καὶ δῆλον, ὡς τὸ ΑΒΓ τμῆμα ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυκλίου διὰ τὸ τὸ Ε κέντρον ἐκτὸς αὐτοῦ τυγχάνειν.
그리고 중심 Ε가 활꼴의 바깥에 있게 되므로 활꼴 ΑΒΓ는 반원보다 작음이 명백하다.
ὁμοίως κἂν ᾖ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία ἴση τῇ ὑπὸ ΒΑΔ, τῆς ΑΔ ἴσης γενομένης ἑκατέρᾳ τῶν ΒΔ, ΔΓ αἱ τρεῖς αἱ ΔΑ, ΔΒ, ΔΓ ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται, καὶ ἔσται τὸ Δ κέντρον τοῦ προσαναπεπληρωμένου κύκλου, καὶ δηλαδὴ ἔσται τὸ ΑΒΓ ἡμικύκλιον.
마찬가지로 각 ΑΒΔ가 각 ΒΑΔ와 같을지라도, ΑΔ가 ΒΔ, ΔΓ의 각각과 같아지므로 세 개의 ΔΑ, ΔΒ, ΔΓ는 서로 같아질 것이며, Δ가 채워져 완성된 원의 중심이 될 것이고, 명백히 ΑΒΓ는 반원이 될 것이다.
ἐὰν δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ ἐλάττων ᾖ τῆς ὑπὸ ΒΑΔ, καὶ συστησώμεθα πρὸς τῇ ΒΑ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΑΒΔ γωνίᾳ ἴσην, ἐντὸς τοῦ ΑΒΓ τμήματος πεσεῖται τὸ κέντρον ἐπὶ τῆς ΔΒ, καὶ ἔσται δηλαδὴ τὸ ΑΒΓ τμῆμα μεῖζον ἡμικυκλίου.
그런데 만약 각 ΑΒΔ가 각 ΒΑΔ보다 작고, 우리가 직선 ΒΑ와 그 위의 점 Α에서 각 ΑΒΔ와 같은 각을 구성한다면, 중심은 ΔΒ 위의 활꼴 ΑΒΓ의 안쪽에 떨어질 것이며, 명백히 활꼴 ΑΒΓ는 반원보다 클 것이다.
κύκλου ἄρα τμήματος δοθέντος προσαναγέγραπται ὁ κύκλος·
그러므로 원의 활꼴이 주어졌을 때 원이 그려 넣어졌다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 하고자 했던 바이다.