§3.prop.23ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο τμήματα κύκλων ὅμοια καὶ ἄνισα οὐ συσταθήσεται ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη.
同一の直線上に、同じ側に、2つの相似で等しくない円の弓形は構成されないであろう。
εἰ γὰρ δυνατόν, ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΒ δύο τμήματα κύκλων ὅμοια καὶ ἄνισα συνεστάτω ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ ΑΓΒ, ΑΔΒ, καὶ διήχθω ἡ ΑΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΒ, ΔΒ.
ἐπεὶ οὖν ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΓΒ τμῆμα τῷ ΑΔΒ τμήματι, ὅμοια δὲ τμήματα κύκλων ἐστὶ τὰ δεχόμενα γωνίας ἴσας, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΔΒ ἡ ἐκτὸς τῇ ἐντός·
なぜなら、もし可能であるならば、同一の直線 ΑΒ の上に、同じ側に、2つの相似で等しくない円の弓形 ΑΓΒ, ΑΔΒ が構成されているとせよ。 そして ΑΓΔ が引き通され、ΓΒ, ΔΒ が結ばれたとせよ。 さて、弓形 ΑΓΒ は弓形 ΑΔΒ に相似であり、相似な円の弓形とは等しい角を受け入れるものであるから、したがって角 ΑΓΒ は角 ΑΔΒ に等しい、すなわち外角が内角に［等しいことになる］。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο τμήματα κύκλων ὅμοια καὶ ἄνισα συσταθήσεται ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη·
したがって、同一の直線上に、同じ側に、2つの相似で等しくない円の弓形が構成されることはないであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§3.prop.24τὰ ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν ὅμοια τμήματα κύκλων ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
等しい直線上の、相似な円の弓形は互いに等しい。
ἔστωσαν γὰρ ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΓΔ ὅμοια τμήματα κύκλων τὰ ΑΕΒ, ΓΖΔ·
なぜなら、等しい直線 ΑΒ, ΓΔ の上に、相似な円の弓形 ΑΕΒ, ΓΖΔ があるとせよ。
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΕΒ τμῆμα τῷ ΓΖΔ τμήματι.
私は、弓形 ΑΕΒ は弓形 ΓΖΔ に等しいと主張する。
Ἐφαρμοζομένου γὰρ τοῦ ΑΕΒ τμήματος ἐπὶ τὸ ΓΖΔ καὶ τιθεμένου τοῦ μὲν Α σημείου ἐπὶ τὸ Γ τῆς δὲ ΑΒ εὐθείας ἐπὶ τὴν ΓΔ, ἐφαρμόσει καὶ τὸ Β σημεῖον ἐπὶ τὸ Δ σημεῖον διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΑΒ τῇ ΓΔ·
なぜなら、弓形 ΑΕΒ が ΓΖΔ に重ね合わされ、点 Α が Γ の上に、直線 ΑΒ が ΓΔ の上に置かれるとき、点 Β も点 Δ の上に重なるであろう。 なぜなら ΑΒ は ΓΔ に等しいからである。
τῆς δὲ ΑΒ ἐπὶ τὴν ΓΔ ἐφαρμοσάσης ἐφαρμόσει καὶ τὸ ΑΕΒ τμῆμα ἐπὶ τὸ ΓΖΔ. εἰ γὰρ ἡ ΑΒ εὐθεῖα ἐπὶ τὴν ΓΔ ἐφαρμόσει, τὸ δὲ ΑΕΒ τμῆμα ἐπὶ τὸ ΓΖΔ μὴ ἐφαρμόσει, ἤτοι ἐντὸς αὐτοῦ πεσεῖται ἢ ἐκτὸς ἢ παραλλάξει ὡς τὸ ΓΗΔ, καὶ κύκλος κύκλον τέμνει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο·
そして ΑΒ が ΓΔ に重なったとき、弓形 ΑΕΒ も ΓΖΔ に重なるであろう。 なぜなら、もし直線 ΑΒ が ΓΔ に重なるが、弓形 ΑΕΒ が ΓΖΔ に重ならないならば、それはその内側に落ちるか、外側に落ちるか、あるいは ΓΗΔ のように交差するであろう。 すると円が円を2つより多くの点で交わることになる。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα ἐφαρμοζομένης τῆς ΑΒ εὐθείας ἐπὶ τὴν ΓΔ οὐκ ἐφαρμόσει καὶ τὸ ΑΕΒ τμῆμα ἐπὶ τὸ ΓΖΔ·
したがって、直線 ΑΒ が ΓΔ に重ね合わされるとき、弓形 ΑΕΒ が ΓΖΔ に重ならないということはない。
ἐφαρμόσει ἄρα, καὶ ἴσον αὐτῷ ἔσται.
したがってそれは重なるであろう、そしてそれに等しいであろう。
τὰ ἄρα ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν ὅμοια τμήματα κύκλων ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
したがって、等しい直線上の、相似な円の弓形は互いに等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§3.prop.25κύκλου τμήματος δοθέντος προσαναγράψαι τὸν κύκλον, οὗπέρ ἐστι τμῆμα.
与えられた円の弓形に対して、それがそれの一部であるところの円を描き足すこと。
ἔστω τὸ δοθὲν τμῆμα κύκλου τὸ ΑΒΓ·
与えられた円の弓形を ΑΒΓ とせよ。
δεῖ δὴ τοῦ ΑΒΓ τμήματος προσαναγράψαι τὸν κύκλον, οὗπέρ ἐστι τμῆμα.
弓形 ΑΒΓ に対し、それがそれの一部であるところの円を描き足さねばならない。
τετμήσθω γὰρ ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Δ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ σημείου τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ·
なぜなら、ΑΓ が Δ において2等分され、点 Δ から ΑΓ に直角に ΔΒ が引かれ、ΑΒ が結ばれたとせよ。
ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία ἄρα τῆς ὑπὸ ΒΑΔ ἤτοι μείζων ἐστὶν ἢ ἴση ἢ ἐλάττων.
したがって、角 ΑΒΔ は角 ΒΑΔ より大きいか、等しいか、あるいは小さいかのいずれかである。
ἔστω πρότερον μείζων, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΒΑ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΑΒΔ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΕ, καὶ διήχθω ἡ ΔΒ ἐπὶ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΑΕ, ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΒ εὐθεῖα τῇ ΕΑ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ, κοινὴ δὲ ἡ ΔΕ, δύο δὴ αἱ ΑΔ, ΔΕ δύο ταῖς ΓΔ, ΔΕ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
まず大きいとし、直線 ΒΑ の上の、その上にある点 Α において、角 ΑΒΔ に等しい角 ΒΑΕ が作られたとせよ。 そして ΔΒ が Ε まで延長され、ΕΓ が結ばれたとせよ。 さて、角 ΑΒΕ は角 ΒΑΕ に等しいから、したがって直線 ΕΒ も ΕΑ に等しい。 そして ΑΔ は ΔΓ に等しく、ΔΕ は共通であるから、2つの ΑΔ, ΔΕ は2つの ΓΔ, ΔΕ にそれぞれ等しい。
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΔΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΔΕ ἐστιν ἴση·
また角 ΑΔΕ は角 ΓΔΕ に等しい。
ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα·
なぜならそれぞれ直角であるからである。
βάσις ἄρα ἡ ΑΕ βάσει τῇ ΓΕ ἐστιν ἴση.
したがって底辺 ΑΕ は底辺 ΓΕ に等しい。
ἀλλὰ ἡ ΑΕ τῇ ΒΕ ἐδείχθη ἴση·
ところが、ΑΕ は ΒΕ に等しいと示された。
καὶ ἡ ΒΕ ἄρα τῇ ΓΕ ἐστιν ἴση·
したがって ΒΕ も ΓΕ に等しい。
αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΑΕ, ΕΒ, ΕΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν·
したがって、3つの ΑΕ, ΕΒ, ΕΓ は互いに等しい。
ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ε διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν ΑΕ, ΕΒ, ΕΓ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων καὶ ἔσται προσαναγεγραμμένος.
したがって、Ε を中心とし、ΑΕ, ΕΒ, ΕΓ のうちの1つを半径として描かれる円は、残りの点をも通るであろう、そして描き足されたことになる。
κύκλου ἄρα τμήματος δοθέντος προσαναγέγραπται ὁ κύκλος.
したがって、与えられた円の弓形に対して円が描き足された。
καὶ δῆλον, ὡς τὸ ΑΒΓ τμῆμα ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυκλίου διὰ τὸ τὸ Ε κέντρον ἐκτὸς αὐτοῦ τυγχάνειν.
そして、中心 Ε がその外側にあるため、弓形 ΑΒΓ は半円より小さいことは明らかである。
ὁμοίως κἂν ᾖ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία ἴση τῇ ὑπὸ ΒΑΔ, τῆς ΑΔ ἴσης γενομένης ἑκατέρᾳ τῶν ΒΔ, ΔΓ αἱ τρεῖς αἱ ΔΑ, ΔΒ, ΔΓ ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται, καὶ ἔσται τὸ Δ κέντρον τοῦ προσαναπεπληρωμένου κύκλου, καὶ δηλαδὴ ἔσται τὸ ΑΒΓ ἡμικύκλιον.
同様に、たとえ角 ΑΒΔ が角 ΒΑΔ に等しいとしても、ΑΔ が ΒΔ, ΔΓ のそれぞれに等しくなるため、3つの ΔΑ, ΔΒ, ΔΓ は互いに等しくなり、Δ は描き足されて完成した円の中心となるであろう、そして言うまでもなく ΑΒΓ は半円となるであろう。
ἐὰν δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ ἐλάττων ᾖ τῆς ὑπὸ ΒΑΔ, καὶ συστησώμεθα πρὸς τῇ ΒΑ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΑΒΔ γωνίᾳ ἴσην, ἐντὸς τοῦ ΑΒΓ τμήματος πεσεῖται τὸ κέντρον ἐπὶ τῆς ΔΒ, καὶ ἔσται δηλαδὴ τὸ ΑΒΓ τμῆμα μεῖζον ἡμικυκλίου.
また、もし角 ΑΒΔ が角 ΒΑΔ より小さいならば、直線 ΒΑ の上の、その上にある点 Α において、角 ΑΒΔ に等しい角を作るなら、中心は ΔΒ の上の、弓形 ΑΒΓ の内側に落ちるであろう。 そして言うまでもなく弓形 ΑΒΓ は半円より大きいであろう。
κύκλου ἄρα τμήματος δοθέντος προσαναγέγραπται ὁ κύκλος·
したがって、与えられた円の弓形に対して円が描き足された。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これがなすべきことであった。