§3.prop.20ἐν κύκλῳ ἡ πρὸς τῷ κέντρῳ γωνία διπλασίων ἐστὶ τῆς πρὸς τῇ περιφερείᾳ, ὅταν τὴν αὐτὴν περιφέρειαν βάσιν ἔχωσιν αἱ γωνίαι.
在圆中，当角拥有相同的弧作为底边时，圆心处的角是圆周处的角两倍。
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ πρὸς μὲν τῷ κέντρῳ αὐτοῦ γωνία ἔστω ἡ ὑπὸ ΒΕΓ, πρὸς δὲ τῇ περιφερείᾳ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, ἐχέτωσαν δὲ τὴν αὐτὴν περιφέρειαν βάσιν τὴν ΒΓ· λέγω, ὅτι διπλασίων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΕΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΑΓ.
ἐπιζευχθεῖσα γὰρ ἡ ΑΕ διήχθω ἐπὶ τὸ Ζ.
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΕΑ τῇ ΕΒ, ἴση καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΑΒ τῇ ὑπὸ ΕΒΑ·
设圆为 ΑΒΓ，且在其圆心处的角为 ΒΕΓ，在其圆周处的角为 ΒΑΓ，并设它们拥有相同的弧 ΒΓ 作为底边；我说，角 ΒΕΓ 是角 ΒΑΓ 的两倍。
αἱ ἄρα ὑπὸ ΕΑΒ, ΕΒΑ γωνίαι τῆς ὑπὸ ΕΑΒ διπλασίους εἰσίν.
因为，设 ΑΕ 连结并延长至 Ζ。
ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΒΕΖ ταῖς ὑπὸ ΕΑΒ, ΕΒΑ·
既然 ΕΑ 等于 ΕΒ，所以角 ΕΑΒ 也等于角 ΕΒΑ；于是，角 ΕΑΒ、ΕΒΑ 是角 ΕΑΒ 的两倍。
καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΖ ἄρα τῆς ὑπὸ ΕΑΒ ἐστι διπλῆ.
而角 ΒΕΖ 等于角 ΕΑΒ、ΕΒΑ；所以角 ΒΕΖ 也是角 ΕΑΒ 的两倍。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΓ τῆς ὑπὸ ΕΑΓ ἐστι διπλῆ.
同理，角 ΖΕΓ 也是角 ΕΑΓ 的两倍。
ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΕΓ ὅλης τῆς ὑπὸ ΒΑΓ ἐστι διπλῆ.
因此，整体的角 ΒΕΓ 是整体的角 ΒΑΓ 的两倍。
Κεκλάσθω δὴ πάλιν, καὶ ἔστω ἑτέρα γωνία ἡ ὑπὸ ΒΔΓ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΔΕ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Η. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι διπλῆ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΗΕΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΔΓ, ὧν ἡ ὑπὸ ΗΕΒ διπλῆ ἐστι τῆς ὑπὸ ΕΔΒ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΕΓ διπλῆ ἐστι τῆς ὑπὸ ΒΔΓ.
ἐν κύκλῳ ἄρα ἡ πρὸς τῷ κέντρῳ γωνία διπλασίων ἐστὶ τῆς πρὸς τῇ περιφερείᾳ, ὅταν τὴν αὐτὴν περιφέρειαν βάσιν ἔχωσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
设再次折返，且设另一个角为 ΒΔΓ，并设 ΔΕ 连结且延长至 Η。 同样，我们将证明，角 ΗΕΓ 是角 ΕΔΓ 的两倍，其中，角 ΗΕΒ 是角 ΕΔΒ 的两倍；因此，余下的角 ΒΕΓ 是角 ΒΔΓ 的两倍。 因此，在圆中，圆心处的角是圆周处的角两倍，当它们拥有相同的弧作为底边时；这就是所要证明的。
§3.prop.21ἐν κύκλῳ αἱ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
在圆中，同一弓形内的角彼此相等。
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι τῷ ΒΑΕΔ γωνίαι ἔστωσαν αἱ ὑπὸ ΒΑΔ, ΒΕΔ· λέγω, ὅτι αἱ ὑπὸ ΒΑΔ, ΒΕΔ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
设圆为 ΑΒΓΔ，并在同一弓形 ΒΑΕΔ 内的角为 ΒΑΔ、ΒΕΔ；我说，角 ΒΑΔ、ΒΕΔ 彼此相等。
εἰλήφθω γὰρ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου τὸ κέντρον, καὶ ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΖ, ΖΔ.
καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΒΖΔ γωνία πρὸς τῷ κέντρῳ ἐστίν, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΔ πρὸς τῇ περιφερείᾳ, καὶ ἔχουσι τὴν αὐτὴν περιφέρειαν βάσιν τὴν ΒΓΔ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΖΔ γωνία διπλασίων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΒΑΔ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἡ ὑπὸ ΒΖΔ καὶ τῆς ὑπὸ ΒΕΔ ἐστι διπλασίων· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ ὑπὸ ΒΕΔ.
ἐν κύκλῳ ἄρα αἱ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因为，设已取圆 ΑΒΓΔ 的圆心为 Ζ，并连结 ΒΖ、ΖΔ。 又既然角 ΒΖΔ 是圆心角，而角 ΒΑΔ 是圆周角，且它们拥有相同的弧 ΒΓΔ 作为底边，因此角 ΒΖΔ 是角 ΒΑΔ 的两倍。 同理，角 ΒΖΔ 也是角 ΒΕΔ 的两倍；因此角 ΒΑΔ 等于角 ΒΕΔ。 因此在圆中，同一弓形内的角彼此相等；这就是所要证明的。
§3.prop.22τῶν ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
在圆内接四边形中，其对角之和等于两直角。
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῷ τετράπλευρον ἔστω τὸ ΑΒΓΔ· λέγω, ὅτι αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
设圆为 ΑΒΓΔ，并在其内有一四边形 ΑΒΓΔ；我说，其对角等于两直角。
ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΒΔ.
ἐπεὶ οὖν παντὸς τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, τοῦ ΑΒΓ ἄρα τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΑΒ, ΑΒΓ, ΒΓΑ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
设连结 ΑΓ、ΒΔ。 既然任意三角形的三个内角之和等于两直角，所以三角形 ΑΒΓ 的三个角，即角 ΓΑΒ、ΑΒΓ、ΒΓΑ，等于两直角。
ἴση δὲ ἡ μὲν ὑπὸ ΓΑΒ τῇ ὑπὸ ΒΔΓ· ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τῷ ΒΑΔΓ· ἡ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΑΔΒ· ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τῷ ΑΔΓΒ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΓ ταῖς ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΒ ἴση ἐστίν.
而角 ΓΑΒ 等于角 ΒΔΓ，因为它们在同一弓形 ΒΑΔΓ 内；且角 ΑΓΒ 等于角 ΑΔΒ，因为它们在同一弓形 ΑΔΓΒ 内；因此整体的角 ΑΔΓ 等于角 ΒΑΓ、ΑΓΒ。
κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΑΓ, ΑΓΒ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΔΓ ἴσαι εἰσίν.
设公共的角 ΑΒΓ 被加上；于是角 ΑΒΓ、ΒΑΓ、ΑΓΒ 等于角 ΑΒΓ、ΑΔΓ。
ἀλλʼ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΑΓ, ΑΓΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. καὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΔΓ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
但角 ΑΒΓ、ΒΑΓ、ΑΓΒ 等于两直角；因此角 ΑΒΓ、ΑΔΓ 也等于两直角。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΔ, ΔΓΒ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
同样，我们将证明，角 ΒΑΔ、ΔΓΒ 也等于两直角。
τῶν ἄρα ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，圆内接四边形的对角之和等于两直角；这就是所要证明的。