§3.prop.20ἐν κύκλῳ ἡ πρὸς τῷ κέντρῳ γωνία διπλασίων ἐστὶ τῆς πρὸς τῇ περιφερείᾳ, ὅταν τὴν αὐτὴν περιφέρειαν βάσιν ἔχωσιν αἱ γωνίαι.
원 안에서 중심에서의 각은, 그 각들이 같은 호를 밑변으로 가질 때, 원주에서의 각의 두 배이다.
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ πρὸς μὲν τῷ κέντρῳ αὐτοῦ γωνία ἔστω ἡ ὑπὸ ΒΕΓ, πρὸς δὲ τῇ περιφερείᾳ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, ἐχέτωσαν δὲ τὴν αὐτὴν περιφέρειαν βάσιν τὴν ΒΓ·
원을 ΑΒΓ라 하고, 그것의 중심에서의 각을 ΒΕΓ, 원주에서의 각을 ΒΑΓ라 하며, 그들이 같은 호 ΒΓ를 밑변으로 가질게 하자.
λέγω, ὅτι διπλασίων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΕΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΑΓ.
ἐπιζευχθεῖσα γὰρ ἡ ΑΕ διήχθω ἐπὶ τὸ Ζ.
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΕΑ τῇ ΕΒ, ἴση καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΑΒ τῇ ὑπὸ ΕΒΑ·
나는 각 ΒΕΓ가 각 ΒΑΓ의 두 배라고 주장한다. 왜냐하면 ΑΕ를 연결하여 Ζ까지 연장하자. 그러므로 ΕΑ가 ΕΒ와 같으므로, 각 ΕΑΒ 역시 각 ΕΒΑ와 같다.
αἱ ἄρα ὑπὸ ΕΑΒ, ΕΒΑ γωνίαι τῆς ὑπὸ ΕΑΒ διπλασίους εἰσίν.
그러므로 각 ΕΑΒ, ΕΒΑ는 각 ΕΑΒ의 두 배이다.
ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΒΕΖ ταῖς ὑπὸ ΕΑΒ, ΕΒΑ·
그런데 각 ΒΕΖ는 각 ΕΑΒ, ΕΒΑ와 같다.
καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΖ ἄρα τῆς ὑπὸ ΕΑΒ ἐστι διπλῆ.
그러므로 각 ΒΕΖ 역시 각 ΕΑΒ의 두 배이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΓ τῆς ὑπὸ ΕΑΓ ἐστι διπλῆ.
같은 이유로 각 ΖΕΓ 역시 각 ΕΑΓ의 두 배이다.
ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΕΓ ὅλης τῆς ὑπὸ ΒΑΓ ἐστι διπλῆ.
그러므로 전체 각 ΒΕΓ는 전체 각 ΒΑΓ의 두 배이다.
Κεκλάσθω δὴ πάλιν, καὶ ἔστω ἑτέρα γωνία ἡ ὑπὸ ΒΔΓ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΔΕ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Η. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι διπλῆ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΗΕΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΔΓ, ὧν ἡ ὑπὸ ΗΕΒ διπλῆ ἐστι τῆς ὑπὸ ΕΔΒ·
다시 꺾였다고 하고, 또 다른 각을 ΒΔΓ라 하며, ΔΕ를 연결하여 Η까지 연장하자. 마찬가지로 우리는 각 ΗΕΓ가 각 ΕΔΓ의 두 배임을 보일 것이다. 그 중 각 ΗΕΒ는 각 ΕΔΒ의 두 배이다.
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΕΓ διπλῆ ἐστι τῆς ὑπὸ ΒΔΓ.
ἐν κύκλῳ ἄρα ἡ πρὸς τῷ κέντρῳ γωνία διπλασίων ἐστὶ τῆς πρὸς τῇ περιφερείᾳ, ὅταν τὴν αὐτὴν περιφέρειαν βάσιν ἔχωσιν·
그러므로 남은 각 ΒΕΓ는 각 ΒΔΓ의 두 배이다. 그러므로 원 안에서 중심에서의 각은 원주에서의 각의 두 배이다, 그들이 같은 호를 밑변으로 가질 때.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.
§3.prop.21ἐν κύκλῳ αἱ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
원 안에서 같은 활꼴 안에 있는 각들은 서로 같다.
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι τῷ ΒΑΕΔ γωνίαι ἔστωσαν αἱ ὑπὸ ΒΑΔ, ΒΕΔ·
원을 ΑΒΓΔ라 하고, 같은 활꼴 ΒΑΕΔ 안에 있는 각들을 ΒΑΔ, ΒΕΔ라 하자.
λέγω, ὅτι αἱ ὑπὸ ΒΑΔ, ΒΕΔ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
나는 각 ΒΑΔ, ΒΕΔ가 서로 같다고 주장한다.
εἰλήφθω γὰρ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου τὸ κέντρον, καὶ ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΖ, ΖΔ.
καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΒΖΔ γωνία πρὸς τῷ κέντρῳ ἐστίν, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΔ πρὸς τῇ περιφερείᾳ, καὶ ἔχουσι τὴν αὐτὴν περιφέρειαν βάσιν τὴν ΒΓΔ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΖΔ γωνία διπλασίων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΒΑΔ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἡ ὑπὸ ΒΖΔ καὶ τῆς ὑπὸ ΒΕΔ ἐστι διπλασίων·
왜냐하면 원 ΑΒΓΔ의 중심을 잡고 그것을 Ζ라 하며, ΒΖ, ΖΔ를 연결하자. 그리고 각 ΒΖΔ가 중심에서의 각이고, 각 ΒΑΔ는 원주에서의 각이며, 그들이 같은 호 ΒΓΔ를 밑변으로 가지므로, 그러므로 각 ΒΖΔ는 각 ΒΑΔ의 두 배이다. 같은 이유로 각 ΒΖΔ는 각 ΒΕΔ의 두 배이기도 하다.
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ ὑπὸ ΒΕΔ.
ἐν κύκλῳ ἄρα αἱ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν·
그러므로 각 ΒΑΔ는 각 ΒΕΔ와 같다. 그러므로 원 안에서 같은 활꼴 안에 있는 각들은 서로 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.
§3.prop.22τῶν ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
원에 내접하는 사각형들의 대각들은 이직각과 같다.
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῷ τετράπλευρον ἔστω τὸ ΑΒΓΔ·
원을 ΑΒΓΔ라 하고, 그 안에 사각형 ΑΒΓΔ를 두자.
λέγω, ὅτι αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
나는 대각들이 두 개의 직각과 같다고 주장한다.
ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΒΔ.
ἐπεὶ οὖν παντὸς τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, τοῦ ΑΒΓ ἄρα τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΑΒ, ΑΒΓ, ΒΓΑ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
ΑΓ, ΒΔ를 연결하자. 그러므로 모든 삼각형의 세 각은 이직각과 같으므로, 삼각형 ΑΒΓ의 세 각인 ΓΑΒ, ΑΒΓ, ΒΓΑ 역시 이직각과 같다.
ἴση δὲ ἡ μὲν ὑπὸ ΓΑΒ τῇ ὑπὸ ΒΔΓ· ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τῷ ΒΑΔΓ·
그런데 각 ΓΑΒ는 각 ΒΔΓ와 같으니, 왜냐하면 그들이 같은 활꼴 ΒΑΔΓ 안에 있기 때문이다.
ἡ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΑΔΒ· ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τῷ ΑΔΓΒ·
또한 각 ΑΓΒ는 각 ΑΔΒ와 같으니, 왜냐하면 그들이 같은 활꼴 ΑΔΓΒ 안에 있기 때문이다.
ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΓ ταῖς ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΒ ἴση ἐστίν.
그러므로 전체 각 ΑΔΓ는 각 ΒΑΓ, ΑΓΒ와 같다.
κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ·
공통인 각 ΑΒΓ가 더해졌다고 하자.
αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΑΓ, ΑΓΒ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΔΓ ἴσαι εἰσίν.
그러므로 각 ΑΒΓ, ΒΑΓ, ΑΓΒ는 각 ΑΒΓ, ΑΔΓ와 같다.
ἀλλʼ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΑΓ, ΑΓΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
그런데 각 ΑΒΓ, ΒΑΓ, ΑΓΒ는 이직각과 같다.
καὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΔΓ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
그러므로 각 ΑΒΓ, ΑΔΓ 역시 이직각과 같다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΔ, ΔΓΒ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
마찬가지로 우리는 각 ΒΑΔ, ΔΓΒ 역시 이직각과 같음을 보일 것이다.
τῶν ἄρα ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
그러므로 원에 내접하는 사각형들의 대각들은 이직각과 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.