§3.prop.17ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ δοθέντος κύκλου ἐφαπτομένην εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
从已知圆的已知点作一条直线切于该圆。
ἔστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ Α, ὁ δὲ δοθεὶς κύκλος ὁ ΒΓΔ· δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τοῦ ΒΓΔ κύκλου ἐφαπτομένην εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
设已知点为 Α，已知圆为 ΒΓΔ；现在需要自点 Α 作一条直线切于圆 ΒΓΔ。
εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Ε διαστήματι δὲ τῷ ΕΑ κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΖΗ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΕΑ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΔΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΖ, ΑΒ· λέγω, ὅτι ἀπὸ τοῦ Α σημείου τοῦ ΒΓΔ κύκλου ἐφαπτομένη ἦκται ἡ ΑΒ.
ἐπεὶ γὰρ τὸ Ε κέντρον ἐστὶ τῶν ΒΓΔ, ΑΖΗ κύκλων, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΕΑ τῇ ΕΖ, ἡ δὲ ΕΔ τῇ ΕΒ·
因为，设已取圆心为 Ε，并连结 ΑΕ；以 Ε 为圆心，ΕΑ 为半径作圆 ΑΖΗ，自 Δ 向 ΕΑ 作垂线 ΔΖ，并连结 ΕΖ, ΑΒ；我说，自点 Α 已经作出了切于圆 ΒΓΔ 的直线 ΑΒ。
δύο δὴ αἱ ΑΕ, ΕΒ δύο ταῖς ΖΕ, ΕΔ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνίαν κοινὴν περιέχουσι τὴν πρὸς τῷ Ε· βάσις ἄρα ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΑΒ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον τῷ ΕΒΑ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΔΖ τῇ ὑπὸ ΕΒΑ. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΕΔΖ·
因为，由于 Ε 是圆 ΒΓΔ、ΑΖΗ 的圆心，所以 ΕΑ 等于 ΕΖ，且 ΕΔ 等于 ΕΒ；于是，两条直线 ΑΕ、ΕΒ 分别等于两条直线 ΖΕ、ΕΔ；并且它们夹着一个公共角，即在 Ε 处的角；因此，底边 ΔΖ 等于底边 ΑΒ，三角形 ΔΕΖ 等于三角形 ΕΒΑ，其余的角也分别等于其余的角；因此，角 ΕΔΖ 等于角 ΕΒΑ。
ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΒΑ. καί ἐστιν ἡ ΕΒ ἐκ τοῦ κέντρου·
而角 ΕΔΖ 是直角；因此角 ΕΒΑ 也是直角。
ἡ δὲ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένη ἐφάπτεται τοῦ κύκλου· ἡ ΑΒ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΒΓΔ κύκλου.
并且 ΕΒ 是半径；而自圆直径端点作与直径垂直的直线切于该圆；因此 ΑΒ 切于圆 ΒΓΔ。
ἀπὸ τοῦ ἄρα δοθέντος σημείου τοῦ Α τοῦ δοθέντος κύκλου τοῦ ΒΓΔ ἐφαπτομένη εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΑΒ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
因而，自已知圆 ΒΓΔ 的已知点 Α 已经作出了切线 ΑΒ；这就是所要做的。
§3.prop.18ἐὰν κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπιζευχθῇ τις εὐθεῖα, ἡ ἐπιζευχθεῖσα κάθετος ἔσται ἐπὶ τὴν ἐφαπτομένην.
若有一条直线切于圆，且自圆心向切点连结一条直线，则连结的直线必垂直于该切线。
κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτέσθω τις εὐθεῖα ἡ ΔΕ κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Γ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ· λέγω, ὅτι ἡ ΖΓ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΔΕ.
εἰ γὰρ μή, ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὴν ΔΕ κάθετος ἡ ΖΗ.
ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΖΗΓ γωνία ὀρθή ἐστιν, ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΓΗ· ὑπὸ δὲ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει· μείζων ἄρα ἡ ΖΓ τῆς ΖΗ·
因为，设直线 ΔΕ 切圆 ΑΒΓ 于点 Γ，已取圆 ΑΒΓ 的圆心为 Ζ，自 Ζ 向 Γ 连结 ΖΓ；我说，ΖΓ 垂直于 ΔΕ。 因为，若不然，设自 Ζ 向 ΔΕ 作垂线 ΖΗ。 既然角 ΖΗΓ 是直角，所以角 ΖΓΗ 是锐角；而大角对大边；所以 ΖΓ 大于 ΖΗ。
ἴση δὲ ἡ ΖΓ τῇ ΖΒ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΖΒ τῆς ΖΗ ἡ ἐλάττων τῆς μείζονος· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
而 ΖΓ 等于 ΖΒ；所以 ΖΒ 也大于 ΖΗ，即较小者大于较大者；这显然是不可能的。
οὐκ ἄρα ἡ ΖΗ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΔΕ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδʼ ἄλλη τις πλὴν τῆς ΖΓ· ἡ ΖΓ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΔΕ.
ἐὰν ἄρα κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπιζευχθῇ τις εὐθεῖα, ἡ ἐπιζευχθεῖσα κάθετος ἔσται ἐπὶ τὴν ἐφαπτομένην· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
所以 ΖΗ 不垂直于 ΔΕ。 同样，我们可以证明除 ΖΓ 外没有其他直线垂直；因此 ΖΓ 垂直于 ΔΕ。 因而，若有一条直线切于圆，且自圆心向切点连结一条直线，则连结的直线必垂直于该切线；这就是所要证明的。
§3.prop.19ἐὰν κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τῆς ἁφῆς τῇ ἐφαπτομένῃ πρὸς ὀρθὰς εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ, ἐπὶ τῆς ἀχθείσης ἔσται τὸ κέντρον τοῦ κύκλου.
若有一条直线切于圆，且自切点作一条与该切线垂直的直线，则圆心必在这条引出的直线上。
κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτέσθω τις εὐθεῖα ἡ ΔΕ κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΔΕ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΓΑ· λέγω, ὅτι ἐπὶ τῆς ΑΓ ἐστι τὸ κέντρον τοῦ κύκλου.
因为，设直线 ΔΕ 切圆 ΑΒΓ 于点 Γ，自 Γ 向 ΔΕ 作垂线 ΓΑ；我说，圆心必在 ΑΓ 上。
μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΖ.
ἐπεὶ κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἐφάπτεταί τις εὐθεῖα ἡ ΔΕ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπέζευκται ἡ ΖΓ, ἡ ΖΓ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΔΕ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΓΕ. ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ ὀρθή· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΓΕ τῇ ὑπὸ ΑΓΕ ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
因为，若不然，若可能，设圆心为 Ζ，且连结 ΓΖ。 既然直线 ΔΕ 切圆 ΑΒΓ，且自圆心向切点连结了 ΖΓ，所以 ΖΓ 垂直于 ΔΕ；因此角 ΖΓΕ 是直角。 但角 ΑΓΕ 也是直角；因此角 ΖΓΕ 等于角 ΑΓΕ，即较小者等于较大者；这显然是不可能的。
οὐκ ἄρα τὸ Ζ κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
所以 Ζ 不是圆 ΑΒΓ 的圆心。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδʼ ἄλλο τι πλὴν ἐπὶ τῆς ΑΓ.
ἐὰν ἄρα κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τῆς ἁφῆς τῇ ἐφαπτομένῃ πρὸς ὀρθὰς εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ, ἐπὶ τῆς ἀχθείσης ἔσται τὸ κέντρον τοῦ κύκλου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
同样，我们可以证明除 ΑΓ 上的点外，没有其他点是圆心。 因而，若有一条直线切于圆，且自切点作一条与该切线垂直的直线，则圆心必在这条引出的直线上；这就是所要证明的。