§3.prop.20ἐν κύκλῳ ἡ πρὸς τῷ κέντρῳ γωνία διπλασίων ἐστὶ τῆς πρὸς τῇ περιφερείᾳ, ὅταν τὴν αὐτὴν περιφέρειαν βάσιν ἔχωσιν αἱ γωνίαι.
円において、中心における角は、それらの角が同じ弧を底辺とするとき、円周における角の2倍である。
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ πρὸς μὲν τῷ κέντρῳ αὐτοῦ γωνία ἔστω ἡ ὑπὸ ΒΕΓ, πρὸς δὲ τῇ περιφερείᾳ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, ἐχέτωσαν δὲ τὴν αὐτὴν περιφέρειαν βάσιν τὴν ΒΓ·
円を ΑΒΓ とし、その中心における角を ΒΕΓ、円周における角を ΒΑΓ とし、それらは同じ弧 ΒΓ を底辺とせよ。
λέγω, ὅτι διπλασίων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΕΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΑΓ.
ἐπιζευχθεῖσα γὰρ ἡ ΑΕ διήχθω ἐπὶ τὸ Ζ.
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΕΑ τῇ ΕΒ, ἴση καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΑΒ τῇ ὑπὸ ΕΒΑ·
私は、角 ΒΕΓ は角 ΒΑΓ の2倍であると主張する。 なぜなら、ΑΕ が結ばれて Ζ まで延長されたとせよ。 さて、ΕΑ は ΕΒ に等しいから、角 ΕΑΒ も角 ΕΒΑ に等しい。
αἱ ἄρα ὑπὸ ΕΑΒ, ΕΒΑ γωνίαι τῆς ὑπὸ ΕΑΒ διπλασίους εἰσίν.
したがって、角 ΕΑΒ, ΕΒΑ は角 ΕΑΒ の2倍である。
ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΒΕΖ ταῖς ὑπὸ ΕΑΒ, ΕΒΑ·
ところで角 ΒΕΖ は角 ΕΑΒ, ΕΒΑ に等しい。
καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΖ ἄρα τῆς ὑπὸ ΕΑΒ ἐστι διπλῆ.
したがって角 ΒΕΖ も角 ΕΑΒ の2倍である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΓ τῆς ὑπὸ ΕΑΓ ἐστι διπλῆ.
同じ理由によって、角 ΖΕΓ も角 ΕΑΓ の2倍である。
ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΕΓ ὅλης τῆς ὑπὸ ΒΑΓ ἐστι διπλῆ.
したがって、全体の角 ΒΕΓ は全体の角 ΒΑΓ の2倍である。
Κεκλάσθω δὴ πάλιν, καὶ ἔστω ἑτέρα γωνία ἡ ὑπὸ ΒΔΓ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΔΕ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Η. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι διπλῆ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΗΕΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΔΓ, ὧν ἡ ὑπὸ ΗΕΒ διπλῆ ἐστι τῆς ὑπὸ ΕΔΒ·
では再び折れ曲がっているとし、別の角を ΒΔΓ とし、ΔΕ が結ばれて Η まで延長されたとせよ。 同様にして私たちは、角 ΗΕΓ は角 ΕΔΓ の2倍であることを示す。 これらのうち、角 ΗΕΒ は角 ΕΔΒ の2倍である。
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΕΓ διπλῆ ἐστι τῆς ὑπὸ ΒΔΓ.
ἐν κύκλῳ ἄρα ἡ πρὸς τῷ κέντρῳ γωνία διπλασίων ἐστὶ τῆς πρὸς τῇ περιφερείᾳ, ὅταν τὴν αὐτὴν περιφέρειαν βάσιν ἔχωσιν·
したがって残りの角 ΒΕΓ は角 ΒΔΓ の2倍である。 したがって、円において、中心における角は、同じ弧を底辺とするとき、円周における角の2倍である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§3.prop.21ἐν κύκλῳ αἱ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
円において、同じ弓形の中にある角は互いに等しい。
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι τῷ ΒΑΕΔ γωνίαι ἔστωσαν αἱ ὑπὸ ΒΑΔ, ΒΕΔ·
円を ΑΒΓΔ とし、同じ弓形 ΒΑΕΔ の中にある角を ΒΑΔ, ΒΕΔ とせよ。
λέγω, ὅτι αἱ ὑπὸ ΒΑΔ, ΒΕΔ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
私は、角 ΒΑΔ, ΒΕΔ は互いに等しいと主張する。
εἰλήφθω γὰρ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου τὸ κέντρον, καὶ ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΖ, ΖΔ.
καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΒΖΔ γωνία πρὸς τῷ κέντρῳ ἐστίν, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΔ πρὸς τῇ περιφερείᾳ, καὶ ἔχουσι τὴν αὐτὴν περιφέρειαν βάσιν τὴν ΒΓΔ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΖΔ γωνία διπλασίων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΒΑΔ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἡ ὑπὸ ΒΖΔ καὶ τῆς ὑπὸ ΒΕΔ ἐστι διπλασίων·
なぜなら、円 ΑΒΓΔ の中心が取られ、それを Ζ とし、ΒΖ, ΖΔ が結ばれたとせよ。 そして、角 ΒΖΔ は中心における角であり、角 ΒΑΔ は円周における角であり、それらは同じ弧 ΒΓΔ を底辺とするから、したがって角 ΒΖΔ は角 ΒΑΔ の2倍である。 同じ理由によって、角 ΒΖΔ は角 ΒΕΔ の2倍でもある。
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ ὑπὸ ΒΕΔ.
ἐν κύκλῳ ἄρα αἱ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν·
したがって角 ΒΑΔ は角 ΒΕΔ に等しい。 円において、同じ弓形の中にある角は互いに等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§3.prop.22τῶν ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
円に内接する四角形の対角は二直角に等しい。
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῷ τετράπλευρον ἔστω τὸ ΑΒΓΔ·
円を ΑΒΓΔ とし、その中に四角形 ΑΒΓΔ があるとせよ。
λέγω, ὅτι αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
私は、対角は二つの直角に等しいと主張する。
ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΒΔ.
ἐπεὶ οὖν παντὸς τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, τοῦ ΑΒΓ ἄρα τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΑΒ, ΑΒΓ, ΒΓΑ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
ΑΓ, ΒΔ が結ばれたとせよ。 さて、すべての三角形の三つの角は二直角に等しいから、したがって三角形 ΑΒΓ の三つの角 ΓΑΒ, ΑΒΓ, ΒΓΑ は二直角に等しい。
ἴση δὲ ἡ μὲν ὑπὸ ΓΑΒ τῇ ὑπὸ ΒΔΓ·
ところで、角 ΓΑΒ は角 ΒΔΓ に等しい。
ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τῷ ΒΑΔΓ·
なぜなら、それらは同じ弓形 ΒΑΔΓ の中にあるからである。
ἡ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΑΔΒ·
また角 ΑΓΒ は角 ΑΔΒ に等しい。
ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τῷ ΑΔΓΒ·
なぜなら、それらは同じ弓形 ΑΔΓΒ の中にあるからである。
ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΓ ταῖς ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΒ ἴση ἐστίν.
したがって全体の角 ΑΔΓ は角 ΒΑΓ, ΑΓΒ に等しい。
κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ·
共通のものとして角 ΑΒΓ が加えられたとせよ。
αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΑΓ, ΑΓΒ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΔΓ ἴσαι εἰσίν.
したがって角 ΑΒΓ, ΒΑΓ, ΑΓΒ は角 ΑΒΓ, ΑΔΓ に等しい。
ἀλλʼ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΑΓ, ΑΓΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
しかし、角 ΑΒΓ, ΒΑΓ, ΑΓΒ は二直角に等しい。
καὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΔΓ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
したがって角 ΑΒΓ, ΑΔΓ も二直角に等しい。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΔ, ΔΓΒ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
同様にして私たちは、角 ΒΑΔ, ΔΓΒ も二直角に等しいことを示す。
τῶν ἄρα ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
したがって、円に内接する四角形の対角は二直角に等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。