§3.prop.17ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ δοθέντος κύκλου ἐφαπτομένην εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
与えられた円の与えられた点から、接する直線（接線）を引くこと。
ἔστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ Α, ὁ δὲ δοθεὶς κύκλος ὁ ΒΓΔ·
与えられた点を Α、与えられた円を ΒΓΔ とせよ。
δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τοῦ ΒΓΔ κύκλου ἐφαπτομένην εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
点 Α から円 ΒΓΔ に接する直線を引きたい。
εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Ε διαστήματι δὲ τῷ ΕΑ κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΖΗ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΕΑ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΔΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΖ, ΑΒ·
なぜなら、円の中心を Ε とし、ΑΕ が結ばれ、中心を Ε、半径を ΕΑ として円 ΑΖΗ が描かれ、Δ から ΕΑ に垂直に ΔΖ が引かれ、ΕΖ, ΑΒ が結ばれたとせよ。
λέγω, ὅτι ἀπὸ τοῦ Α σημείου τοῦ ΒΓΔ κύκλου ἐφαπτομένη ἦκται ἡ ΑΒ.
ἐπεὶ γὰρ τὸ Ε κέντρον ἐστὶ τῶν ΒΓΔ, ΑΖΗ κύκλων, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΕΑ τῇ ΕΖ, ἡ δὲ ΕΔ τῇ ΕΒ·
私は、点 Α から円 ΒΓΔ に接する直線 ΑΒ が引かれたと主張する。 なぜなら、Ε は円 ΒΓΔ, ΑΖΗ の中心であるから、ΕΑ は ΕΖ に等しく、ΕΔ は ΕΒ に等しい。
δύο δὴ αἱ ΑΕ, ΕΒ δύο ταῖς ΖΕ, ΕΔ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνίαν κοινὴν περιέχουσι τὴν πρὸς τῷ Ε·
したがって、二つの直線 ΑΕ, ΕΒ は二つの直線 ΖΕ, ΕΔ に等しく、そしてそれらは Ε における共通の角を挟んでいる。
βάσις ἄρα ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΑΒ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον τῷ ΕΒΑ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις·
したがって底辺 ΔΖ は底辺 ΑΒ に等しく、三角形 ΔΕΖ は三角形 ΕΒΑ に等しく、残りの角はそれぞれ残りの角に等しい。
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΔΖ τῇ ὑπὸ ΕΒΑ. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΕΔΖ·
したがって角 ΕΔΖ は角 ΕΒΑ に等しい。 ところで角 ΕΔΖ は直角である。
ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΒΑ. καί ἐστιν ἡ ΕΒ ἐκ τοῦ κέντρου·
したがって角 ΕΒΑ も直角である。 そして ΕΒ は中心からの（半径）である。
ἡ δὲ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένη ἐφάπτεται τοῦ κύκλου·
円の直径の端点から直角に引かれた直線は円に接する。
ἡ ΑΒ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΒΓΔ κύκλου.
したがって、ΑΒ は円 ΒΓΔ に接する。
ἀπὸ τοῦ ἄρα δοθέντος σημείου τοῦ Α τοῦ δοθέντος κύκλου τοῦ ΒΓΔ ἐφαπτομένη εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΑΒ·
したがって、与えられた円 ΒΓΔ の与えられた点 Α から、接する直線 ΑΒ が引かれた。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これがなすべきことであった。
§3.prop.18ἐὰν κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπιζευχθῇ τις εὐθεῖα, ἡ ἐπιζευχθεῖσα κάθετος ἔσται ἐπὶ τὴν ἐφαπτομένην.
もし直線が円に接し、中心から接点に直線が結ばれるなら、結ばれた直線は接線に対して垂直である。
κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτέσθω τις εὐθεῖα ἡ ΔΕ κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Γ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ·
なぜなら、直線 ΔΕ が円 ΑΒΓ に点 Γ において接するとし、円 ΑΒΓ の中心 Ζ が取られ、Ζ から Γ に ΖΓ が結ばれたとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ΖΓ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΔΕ.
εἰ γὰρ μή, ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὴν ΔΕ κάθετος ἡ ΖΗ.
ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΖΗΓ γωνία ὀρθή ἐστιν, ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΓΗ·
私は、ΖΓ は ΔΕ に対する垂線であると主張する。 なぜなら、もしそうでないなら、Ζ から ΔΕ に垂線 ΖΗ が引かれたとせよ。 さて、角 ΖΗΓ は直角であるから、角 ΖΓΗ は鋭角である。
ὑπὸ δὲ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει·
ところで、より大きい角の対辺はより大きい。
μείζων ἄρα ἡ ΖΓ τῆς ΖΗ·
したがって ΖΓ は ΖΗ より大きい。
ἴση δὲ ἡ ΖΓ τῇ ΖΒ·
しかし ΖΓ は ΖΒ に等しい。
μείζων ἄρα καὶ ἡ ΖΒ τῆς ΖΗ ἡ ἐλάττων τῆς μείζονος·
したがって ΖΒ も ΖΗ より大きく、小さいものが大きいものより大きい。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα ἡ ΖΗ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΔΕ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδʼ ἄλλη τις πλὴν τῆς ΖΓ·
したがって ΖΗ は ΔΕ に対する垂線ではない。 同様にして、ΖΓ 以外のいかなる直線も（垂線では）ないことを示す。
ἡ ΖΓ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΔΕ.
ἐὰν ἄρα κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπιζευχθῇ τις εὐθεῖα, ἡ ἐπιζευχθεῖσα κάθετος ἔσται ἐπὶ τὴν ἐφαπτομένην·
したがって ΖΓ は ΔΕ に対する垂線である。 したがって、もし直線が円に接し、中心から接点に直線が結ばれるなら、結ばれた直線は接線に対して垂直である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§3.prop.19ἐὰν κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τῆς ἁφῆς τῇ ἐφαπτομένῃ πρὸς ὀρθὰς εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ, ἐπὶ τῆς ἀχθείσης ἔσται τὸ κέντρον τοῦ κύκλου.
もし直線が円に接し、接点から接線に垂直な直線が引かれるなら、その引かれた直線の上に円の中心がある。
κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτέσθω τις εὐθεῖα ἡ ΔΕ κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΔΕ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΓΑ·
なぜなら、直線 ΔΕ が円 ΑΒΓ に点 Γ において接するとし、Γ から ΔΕ に垂直に ΓΑ が引かれたとせよ。
λέγω, ὅτι ἐπὶ τῆς ΑΓ ἐστι τὸ κέντρον τοῦ κύκλου.
私は、ΑΓ の上に円の中心があると主張する。
μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΖ.
ἐπεὶ κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἐφάπτεταί τις εὐθεῖα ἡ ΔΕ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπέζευκται ἡ ΖΓ, ἡ ΖΓ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΔΕ·
なぜなら、そうでないとして、もし可能なら、それが Ζ であるとし、ΓΖ が結ばれたとせよ。 直線 ΔΕ が円 ΑΒΓ に接し、中心から接点に ΖΓ が結ばれているから、ΖΓ は ΔΕ に対する垂線である。
ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΓΕ. ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ ὀρθή·
したがって角 ΖΓΕ は直角である。 ところが角 ΑΓΕ も直角である。
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΓΕ τῇ ὑπὸ ΑΓΕ ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι·
したがって、角 ΖΓΕ は角 ΑΓΕ に等しく、小さいものが大きいものに等しい。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα τὸ Ζ κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
したがって Ζ は円 ΑΒΓ の中心ではない。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδʼ ἄλλο τι πλὴν ἐπὶ τῆς ΑΓ.
ἐὰν ἄρα κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τῆς ἁφῆς τῇ ἐφαπτομένῃ πρὸς ὀρθὰς εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ, ἐπὶ τῆς ἀχθείσης ἔσται τὸ κέντρον τοῦ κύκλου·
同様にして、ΑΓ の上を除いて、他のいかなるものも（中心ではない）ことを示す。 したがって、もし直線が円に接し、接点から接線に垂直な直線が引かれるなら、その引かれた直線の上に円の中心がある。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。