§3.prop.17ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ δοθέντος κύκλου ἐφαπτομένην εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
주어진 원의 주어진 점으로부터 접하는 직선을 긋는 것.
ἔστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ Α, ὁ δὲ δοθεὶς κύκλος ὁ ΒΓΔ·
주어진 점을 Α라 하고, 주어진 원을 ΒΓΔ라 하자.
δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τοῦ ΒΓΔ κύκλου ἐφαπτομένην εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
점 Α로부터 원 ΒΓΔ에 접하는 직선을 그어야 한다.
εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Ε διαστήματι δὲ τῷ ΕΑ κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΖΗ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΕΑ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΔΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΖ, ΑΒ·
왜냐하면 원의 중심을 Ε라 하고, ΑΕ를 연결하며, 중심을 Ε, 반지름을 ΕΑ로 하는 원 ΑΖΗ를 그리고, Δ로부터 ΕΑ에 수직으로 ΔΖ를 긋고, ΕΖ, ΑΒ를 연결하자.
λέγω, ὅτι ἀπὸ τοῦ Α σημείου τοῦ ΒΓΔ κύκλου ἐφαπτομένη ἦκται ἡ ΑΒ.
ἐπεὶ γὰρ τὸ Ε κέντρον ἐστὶ τῶν ΒΓΔ, ΑΖΗ κύκλων, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΕΑ τῇ ΕΖ, ἡ δὲ ΕΔ τῇ ΕΒ·
나는 점 Α로부터 원 ΒΓΔ에 접하는 직선 ΑΒ가 그어졌다고 주장한다. 왜냐하면 Ε는 원 ΒΓΔ, ΑΖΗ의 중심이므로, ΕΑ는 ΕΖ와 같고, ΕΔ는 ΕΒ와 같다.
δύο δὴ αἱ ΑΕ, ΕΒ δύο ταῖς ΖΕ, ΕΔ ἴσαι εἰσίν·
그러므로 두 직선 ΑΕ, ΕΒ는 두 직선 ΖΕ, ΕΔ와 각각 같다.
καὶ γωνίαν κοινὴν περιέχουσι τὴν πρὸς τῷ Ε·
그리고 그들은 Ε에서의 공통인 각을 둘러싸고 있다.
βάσις ἄρα ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΑΒ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον τῷ ΕΒΑ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις·
그러므로 밑변 ΔΖ는 밑변 ΑΒ와 같고, 삼각형 ΔΕΖ는 삼각형 ΕΒΑ와 같으며, 남은 각들은 남은 각들과 같다.
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΔΖ τῇ ὑπὸ ΕΒΑ. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΕΔΖ·
그러므로 각 ΕΔΖ는 각 ΕΒΑ와 같다. 그런데 각 ΕΔΖ는 직각이다.
ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΒΑ. καί ἐστιν ἡ ΕΒ ἐκ τοῦ κέντρου·
그러므로 각 ΕΒΑ도 직각이다. 그리고 ΕΒ는 중심으로부터의 (반지름)이다.
ἡ δὲ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένη ἐφάπτεται τοῦ κύκλου·
원의 지름의 끝점으로부터 지름에 수직으로 그은 직선은 원에 접한다.
ἡ ΑΒ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΒΓΔ κύκλου.
그러므로 ΑΒ는 원 ΒΓΔ에 접한다.
ἀπὸ τοῦ ἄρα δοθέντος σημείου τοῦ Α τοῦ δοθέντος κύκλου τοῦ ΒΓΔ ἐφαπτομένη εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΑΒ·
그러므로 주어진 원 ΒΓΔ의 주어진 점 Α로부터 접하는 직선 ΑΒ가 그어졌다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 하고자 했던 바이다.
§3.prop.18ἐὰν κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπιζευχθῇ τις εὐθεῖα, ἡ ἐπιζευχθεῖσα κάθετος ἔσται ἐπὶ τὴν ἐφαπτομένην.
만약 어떤 직선이 원에 접하고, 중심으로부터 접점에 직선이 연결된다면, 연결된 직선은 접선에 수직일 것이다.
κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτέσθω τις εὐθεῖα ἡ ΔΕ κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Γ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ·
왜냐하면 어떤 직선 ΔΕ가 원 ΑΒΓ에 점 Γ에서 접한다고 하고, 원 ΑΒΓ의 중심 Ζ를 잡고, Ζ로부터 Γ에 ΖΓ를 연결하자.
λέγω, ὅτι ἡ ΖΓ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΔΕ.
εἰ γὰρ μή, ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὴν ΔΕ κάθετος ἡ ΖΗ.
ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΖΗΓ γωνία ὀρθή ἐστιν, ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΓΗ·
나는 ΖΓ가 ΔΕ에 수직이라고 주장한다. 왜냐하면, 만약 그렇지 않다면, Ζ로부터 ΔΕ에 수선 ΖΗ를 긋자. 그렇다면 각 ΖΗΓ가 직각이므로, 각 ΖΓΗ는 예각이다.
ὑπὸ δὲ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει·
그런데 더 큰 각 아래에는 더 큰 변이 대립한다.
μείζων ἄρα ἡ ΖΓ τῆς ΖΗ·
그러므로 ΖΓ는 ΖΗ보다 크다.
ἴση δὲ ἡ ΖΓ τῇ ΖΒ·
그런데 ΖΓ는 ΖΒ와 같다.
μείζων ἄρα καὶ ἡ ΖΒ τῆς ΖΗ ἡ ἐλάττων τῆς μείζονος·
그러므로 ΖΒ도 ΖΗ보다 크고, 더 작은 것이 더 큰 것보다 크게 된다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα ἡ ΖΗ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΔΕ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδʼ ἄλλη τις πλὴν τῆς ΖΓ·
그러므로 ΖΗ는 ΔΕ에 수직이 아니다. 마찬가지로 우리는 ΖΓ를 제외한 다른 어떤 직선도 수직이 아님을 보일 수 있다.
ἡ ΖΓ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΔΕ.
ἐὰν ἄρα κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπιζευχθῇ τις εὐθεῖα, ἡ ἐπιζευχθεῖσα κάθετος ἔσται ἐπὶ τὴν ἐφαπτομένην·
그러므로 ΖΓ는 ΔΕ에 수직이다. 그러므로 만약 어떤 직선이 원에 접하고, 중심으로부터 접점에 직선이 연결된다면, 연결된 직선은 접선에 수직일 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.
§3.prop.19ἐὰν κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τῆς ἁφῆς τῇ ἐφαπτομένῃ πρὸς ὀρθὰς εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ, ἐπὶ τῆς ἀχθείσης ἔσται τὸ κέντρον τοῦ κύκλου.
만약 어떤 직선이 원에 접하고, 접점으로부터 접선에 수직인 직선이 그어진다면, 그어진 직선 위에 원의 중심이 있을 것이다.
κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτέσθω τις εὐθεῖα ἡ ΔΕ κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΔΕ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΓΑ·
왜냐하면 어떤 직선 ΔΕ가 원 ΑΒΓ에 점 Γ에서 접한다고 하고, Γ로부터 ΔΕ에 수직으로 ΓΑ를 긋자.
λέγω, ὅτι ἐπὶ τῆς ΑΓ ἐστι τὸ κέντρον τοῦ κύκλου.
나는 ΑΓ 위에 원의 중심이 있다고 주장한다.
μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΖ.
ἐπεὶ κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἐφάπτεταί τις εὐθεῖα ἡ ΔΕ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπέζευκται ἡ ΖΓ, ἡ ΖΓ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΔΕ·
왜냐하면, 그렇지 않다고 가정하고 만약 가능하다면, 그것이 Ζ라 하고 ΓΖ를 연결하자. 원 ΑΒΓ에 어떤 직선 ΔΕ가 접하고, 중심으로부터 접점에 ΖΓ가 연결되었으므로, ΖΓ는 ΔΕ에 수직이다.
ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΓΕ. ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ ὀρθή·
그러므로 각 ΖΓΕ는 직각이다. 그런데 각 ΑΓΕ도 직각이다.
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΓΕ τῇ ὑπὸ ΑΓΕ ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι·
그러므로 각 ΖΓΕ는 각 ΑΓΕ와 같고, 더 작은 것이 더 큰 것과 같게 된다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα τὸ Ζ κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
그러므로 Ζ는 원 ΑΒΓ의 중심이 아니다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδʼ ἄλλο τι πλὴν ἐπὶ τῆς ΑΓ.
ἐὰν ἄρα κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τῆς ἁφῆς τῇ ἐφαπτομένῃ πρὸς ὀρθὰς εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ, ἐπὶ τῆς ἀχθείσης ἔσται τὸ κέντρον τοῦ κύκλου·
마찬가지로 우리는 ΑΓ 위에 있는 점을 제외한 다른 어떤 점도 중심이 아님을 보일 수 있다. 그러므로 만약 어떤 직선이 원에 접하고, 접점으로부터 접선에 수직인 직선이 그어진다면, 그어진 직선 위에 원의 중심이 있을 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.