§3.prop.16ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένη ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου, καὶ εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε εὐθείας καὶ τῆς περιφερείας ἑτέρα εὐθεῖα οὐ παρεμπεσεῖται, καὶ ἡ μὲν τοῦ ἡμικυκλίου γωνία ἁπάσης γωνίας ὀξείας εὐθυγράμμου μείζων ἐστίν, ἡ δὲ λοιπὴ ἐλάττων.
自圆直径端点作与直径垂直的直线必落在圆外，并且在直线与圆弧之间的空间中不能插入另一条直线；而半圆的角大于任何锐角直线角，剩下的角则小于任何锐角直线角。
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ Δ καὶ διάμετρον τὴν ΑΒ· λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Α τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένη ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου.
设圆为 ΑΒΓ，其圆心为 Δ，直径为 ΑΒ；我说，自端点 Α 作与 ΑΒ 垂直的直线必落在圆外。
μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, πιπτέτω ἐντὸς ὡς ἡ ΓΑ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ.
ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΔΓ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΔΑΓ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΔ· τριγώνου δὴ τοῦ ΑΓΔ αἱ δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΔΑΓ, ΑΓΔ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
因为，如果不落在外，若可能，设它落在圆内如 ΓΑ，且连结 ΔΓ。 由于 ΔΑ 等于 ΔΓ，所以角 ΔΑΓ 也等于角 ΑΓΔ。 而角 ΔΑΓ 是直角；因此角 ΑΓΔ 也是直角；于是在三角形 ΑΓΔ 中，两个角 ΔΑΓ、ΑΓΔ 之和等于两个直角；这显然是不可能的。
οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ΒΑ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη ἐντὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου.
所以，自点 Α 作与 ΒΑ 垂直的直线不会落在圆内。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδʼ ἐπὶ τῆς περιφερείας· ἐκτὸς ἄρα.
同样，我们可以证明它也不会落在圆周上；因此必落在圆外。
πιπτέτω ὡς ἡ ΑΕ· λέγω δή, ὅτι εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε ΑΕ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας ἑτέρα εὐθεῖα οὐ παρεμπεσεῖται.
设它落在圆外如 ΑΕ；我说，在直线 ΑΕ 与圆弧 ΓΘΑ 之间的空间中，不能插入另一条直线。
εἰ γὰρ δυνατόν, παρεμπιπτέτω ὡς ἡ ΖΑ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἐπὶ τὴν ΖΑ κάθετος ἡ ΔΗ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΗΔ, ἐλάττων δὲ ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΔΑΗ, μείζων ἄρα ἡ ΑΔ τῆς ΔΗ. ἴση δὲ ἡ ΔΑ τῇ ΔΘ·
因为，若可能，设它插入如 ΖΑ，且自点 Δ 向 ΖΑ 作垂线 ΔΗ。 由于角 ΑΗΔ 是直角，而角 ΔΑΗ 小于直角，所以 ΑΔ 大于 ΔΗ。
μείζων ἄρα ἡ ΔΘ τῆς ΔΗ, ἡ ἐλάττων τῆς μείζονος· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
而 ΔΑ 等于 ΔΘ；所以 ΔΘ 大于 ΔΗ，即较小者大于较大者；这显然是不可能的。
οὐκ ἄρα εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε εὐθείας καὶ τῆς περιφερείας ἑτέρα εὐθεῖα παρεμπεσεῖται.
所以，在直线与圆弧之间的空间中不能插入另一条直线。
λέγω, ὅτι καὶ ἡ μὲν τοῦ ἡμικυκλίου γωνία ἡ περιεχομένη ὑπό τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας ἁπάσης γωνίας ὀξείας εὐθυγράμμου μείζων ἐστίν, ἡ δὲ λοιπὴ ἡ περιεχομένη ὑπό τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας ἁπάσης γωνίας ὀξείας εὐθυγράμμου ἐλάττων ἐστίν.
我说，由直线 ΒΑ 与圆弧 ΓΘΑ 所夹的半圆角大于任何锐角直线角，而由圆弧 ΓΘΑ 与直线 ΑΕ 所夹的余角小于任何锐角直线角。
εἰ γὰρ ἐστί τις γωνία εὐθύγραμμος μείζων μὲν τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας, ἐλάττων δὲ τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας, εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας εὐθεῖα περεμπεσεῖται, ἥτις ποιήσει μείζονα μὲν τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας ὑπὸ εὐθειῶν περιεχομένην, ἐλάττονα δὲ τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας.
因为，如果存在某直线角，它大于由直线 ΒΑ 与圆弧 ΓΘΑ 所夹之角，或者小于由圆弧 ΓΘΑ 与直线 ΑΕ 所夹之角，那么就会有一条直线插入圆弧 ΓΘΑ 与直线 ΑΕ 之间的空间中，该直线将构成一个由直线所夹之角，它大于由直线 ΒΑ 与圆弧 ΓΘΑ 所夹之角，且小于由圆弧 ΓΘΑ 与直线 ΑΕ 所夹之角。
οὐ παρεμπίπτει δέ· οὐκ ἄρα τῆς περιεχομένης γωνίας ὑπό τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας ἔσται μείζων ὀξεῖα ὑπὸ εὐθειῶν περιεχομένη, οὐδὲ μὴν ἐλάττων τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας.
但并没有直线可以插入；因此，不存在一个由直线所夹的锐角，它大于由直线 ΒΑ 与圆弧 ΓΘΑ 所夹之角，也不存在一个小于由圆弧 ΓΘΑ 与直线 ΑΕ 所夹之角。
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένη ἐφάπτεται τοῦ κύκλου.
系理由此显然可知，自圆直径端点作与直径垂直的直线切于该圆。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
这就是所要证明的。