§3.prop.16ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένη ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου, καὶ εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε εὐθείας καὶ τῆς περιφερείας ἑτέρα εὐθεῖα οὐ παρεμπεσεῖται, καὶ ἡ μὲν τοῦ ἡμικυκλίου γωνία ἁπάσης γωνίας ὀξείας εὐθυγράμμου μείζων ἐστίν, ἡ δὲ λοιπὴ ἐλάττων.
円の直径の端点から直角に引かれた直線は円の外部に落ち、そして直線と円周の間の空間に他の直線は入り込まない。 そして、半円の角はあらゆる鋭角の直線角よりも大きく、残りの角はそれより小さい。
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ Δ καὶ διάμετρον τὴν ΑΒ·
円を ΑΒΓ とし、その中心を Δ、直径を ΑΒ とせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Α τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένη ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου.
私は、端点 Α から ΑΒ に直角に引かれた直線は円の外部に落ちると主張する。
μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, πιπτέτω ἐντὸς ὡς ἡ ΓΑ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ.
ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΔΓ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΔΑΓ·
なぜなら、そうではないとして、もし可能なら、ΓΑ のように内部に落ちるとし、ΔΓ が結ばれたとせよ。 ΔΑ は ΔΓ に等しいから、角 ΔΑΓ も角 ΑΓΔ に等しい。 ところで角 ΔΑΓ は直角である。
ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΔ·
したがって角 ΑΓΔ も直角である。
τριγώνου δὴ τοῦ ΑΓΔ αἱ δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΔΑΓ, ΑΓΔ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
そうすると三角形 ΑΓΔ の二つの角 ΔΑΓ, ΑΓΔ は二つの直角に等しい。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ΒΑ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη ἐντὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου.
したがって、点 Α から ΒΑ に直角に引かれた直線は円の内部に落ちない。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδʼ ἐπὶ τῆς περιφερείας·
同様にして、円周の上にも落ちないことを示す。
ἐκτὸς ἄρα.
したがって、外部に落ちる。
πιπτέτω ὡς ἡ ΑΕ·
それが ΑΕ として落ちるとせよ。
λέγω δή, ὅτι εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε ΑΕ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας ἑτέρα εὐθεῖα οὐ παρεμπεσεῖται.
私は、直線 ΑΕ と円周 ΓΘΑ の間の空間には、他の直線は入り込まないと主張する。
εἰ γὰρ δυνατόν, παρεμπιπτέτω ὡς ἡ ΖΑ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἐπὶ τὴν ΖΑ κάθετος ἡ ΔΗ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΗΔ, ἐλάττων δὲ ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΔΑΗ, μείζων ἄρα ἡ ΑΔ τῆς ΔΗ. ἴση δὲ ἡ ΔΑ τῇ ΔΘ·
なぜなら、もし可能なら、それが ΖΑ として入り込むとし、点 Δ から ΖΑ に垂線 ΔΗ が引かれたとせよ。 そして角 ΑΗΔ は直角であり、角 ΔΑΗ は直角より小さいから、ΑΔ は ΔΗ より大きい。 しかし ΔΑ は ΔΘ に等しい。
μείζων ἄρα ἡ ΔΘ τῆς ΔΗ, ἡ ἐλάττων τῆς μείζονος·
したがって ΔΘ は ΔΗ より大きく、小さいものが大きいものより大きいことになる。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε εὐθείας καὶ τῆς περιφερείας ἑτέρα εὐθεῖα παρεμπεσεῖται.
したがって、直線と円周の間の空間に他の直線は入り込まない。
λέγω, ὅτι καὶ ἡ μὲν τοῦ ἡμικυκλίου γωνία ἡ περιεχομένη ὑπό τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας ἁπάσης γωνίας ὀξείας εὐθυγράμμου μείζων ἐστίν, ἡ δὲ λοιπὴ ἡ περιεχομένη ὑπό τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας ἁπάσης γωνίας ὀξείας εὐθυγράμμου ἐλάττων ἐστίν.
私は、直線 ΒΑ と円周 ΓΘΑ によって囲まれる半円の角はあらゆる鋭角の直線角よりも大きく、円周 ΓΘΑ と直線 ΑΕ によって囲まれる残りの角はあらゆる鋭角の直線角よりも小さい、と主張する。
εἰ γὰρ ἐστί τις γωνία εὐθύγραμμος μείζων μὲν τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας, ἐλάττων δὲ τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας, εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας εὐθεῖα περεμπεσεῖται, ἥτις ποιήσει μείζονα μὲν τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας ὑπὸ εὐθειῶν περιεχομένην, ἐλάττονα δὲ τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας.
なぜなら、もし直線 ΒΑ と円周 ΓΘΑ に囲まれる角よりも大きいか、あるいは円周 ΓΘΑ と直線 ΑΕ に囲まれる角よりも小さいような、ある直線角が存在するならば、円周 ΓΘΑ と直線 ΑΕ の間の空間に直線が入り込むことになり、その直線は直線によって囲まれる角であって、直線 ΒΑ と円周 ΓΘΑ に囲まれる角よりも大きく、円周 ΓΘΑ と直線 ΑΕ に囲まれる角よりも小さいものを作ることになる。
οὐ παρεμπίπτει δέ·
しかし（そのような直線は）入り込まない。
οὐκ ἄρα τῆς περιεχομένης γωνίας ὑπό τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας ἔσται μείζων ὀξεῖα ὑπὸ εὐθειῶν περιεχομένη, οὐδὲ μὴν ἐλάττων τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας.
したがって、直線 ΒΑ と円周 ΓΘΑ に囲まれる角よりも大きい、直線に囲まれる鋭角は存在せず、また円周 ΓΘΑ と直線 ΑΕ に囲まれる角よりも小さいものも存在しない。
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένη ἐφάπτεται τοῦ κύκλου.
系このことから、円の直径の端点から直角に引かれた直線は円に接することは明らかである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。