§3.prop.16ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένη ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου, καὶ εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε εὐθείας καὶ τῆς περιφερείας ἑτέρα εὐθεῖα οὐ παρεμπεσεῖται, καὶ ἡ μὲν τοῦ ἡμικυκλίου γωνία ἁπάσης γωνίας ὀξείας εὐθυγράμμου μείζων ἐστίν, ἡ δὲ λοιπὴ ἐλάττων.
원의 지름의 끝점으로부터 지름에 수직으로 그은 직선은 원의 바깥쪽에 떨어질 것이며, 직선과 원주 사이의 공간에는 다른 직선이 끼어들 수 없다. 그리고 반원의 각은 모든 예각 직선각보다 크고, 남은 각은 더 작다.
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ Δ καὶ διάμετρον τὴν ΑΒ·
중심을 Δ, 지름을 ΑΒ라 하는 원을 ΑΒΓ라 하자.
λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Α τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένη ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου.
나는 끝점 Α로부터 ΑΒ에 수직으로 그은 직선이 원의 바깥쪽에 떨어질 것이라고 주장한다.
μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, πιπτέτω ἐντὸς ὡς ἡ ΓΑ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ.
ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΔΓ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΔΑΓ·
왜냐하면, 그렇지 않다고 가정하고 만약 가능하다면, ΓΑ와 같이 안쪽에 떨어진다고 하고 ΔΓ를 연결하자. ΔΑ가 ΔΓ와 같으므로 각 ΔΑΓ도 각 ΑΓΔ와 같다. 그런데 각 ΔΑΓ는 직각이다.
ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΔ·
그러므로 각 ΑΓΔ도 직각이다.
τριγώνου δὴ τοῦ ΑΓΔ αἱ δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΔΑΓ, ΑΓΔ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
그렇다면 삼각형 ΑΓΔ의 두 각 ΔΑΓ, ΑΓΔ는 두 직각과 같다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ΒΑ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη ἐντὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου.
그러므로 점 Α로부터 ΒΑ에 수직으로 그은 직선은 원의 안쪽에 떨어지지 않는다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδʼ ἐπὶ τῆς περιφερείας·
마찬가지로 원주 위에도 떨어지지 않음을 보일 수 있다.
ἐκτὸς ἄρα.
그러므로 바깥쪽에 떨어진다.
πιπτέτω ὡς ἡ ΑΕ·
그것이 ΑΕ로 떨어진다고 하자.
λέγω δή, ὅτι εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε ΑΕ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας ἑτέρα εὐθεῖα οὐ παρεμπεσεῖται.
나는 직선 ΑΕ와 원주 ΓΘΑ 사이의 공간에는 다른 직선이 끼어들 수 없다고 주장한다.
εἰ γὰρ δυνατόν, παρεμπιπτέτω ὡς ἡ ΖΑ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἐπὶ τὴν ΖΑ κάθετος ἡ ΔΗ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΗΔ, ἐλάττων δὲ ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΔΑΗ, μείζων ἄρα ἡ ΑΔ τῆς ΔΗ. ἴση δὲ ἡ ΔΑ τῇ ΔΘ·
왜냐하면, 만약 가능하다면 그것이 ΖΑ로 끼어든다고 하고, 점 Δ로부터 ΖΑ에 수선 ΔΗ를 긋자. 그리고 각 ΑΗΔ는 직각이고 각 ΔΑΗ는 직각보다 작으므로, ΑΔ는 ΔΗ보다 크다. 그런데 ΔΑ는 ΔΘ와 같다.
μείζων ἄρα ἡ ΔΘ τῆς ΔΗ, ἡ ἐλάττων τῆς μείζονος·
그러므로 ΔΘ는 ΔΗ보다 크고, 더 작은 것이 더 큰 것보다 크게 된다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε εὐθείας καὶ τῆς περιφερείας ἑτέρα εὐθεῖα παρεμπεσεῖται.
그러므로 직선 과 원주 사이의 공간에는 다른 직선이 끼어들 수 없다.
λέγω, ὅτι καὶ ἡ μὲν τοῦ ἡμικυκλίου γωνία ἡ περιεχομένη ὑπό τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας ἁπάσης γωνίας ὀξείας εὐθυγράμμου μείζων ἐστίν, ἡ δὲ λοιπὴ ἡ περιεχομένη ὑπό τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας ἁπάσης γωνίας ὀξείας εὐθυγράμμου ἐλάττων ἐστίν.
나는 직선 ΒΑ와 원주 ΓΘΑ로 둘러싸인 반원의 각은 모든 예각 직선각보다 크고, 원주 ΓΘΑ와 직선 ΑΕ로 둘러싸인 남은 각은 모든 예각 직선각보다 작다고 주장한다.
εἰ γὰρ ἐστί τις γωνία εὐθύγραμμος μείζων μὲν τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας, ἐλάττων δὲ τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας, εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας εὐθεῖα περεμπεσεῖται, ἥτις ποιήσει μείζονα μὲν τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας ὑπὸ εὐθειῶν περιεχομένην, ἐλάττονα δὲ τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας.
왜냐하면 만약 직선 ΒΑ와 원주 ΓΘΑ로 둘러싸인 각보다 크거나, 혹은 원주 ΓΘΑ와 직선 ΑΕ로 둘러싸인 각보다 작은 어떤 직선각이 존재한다면, 원주 ΓΘΑ와 직선 ΑΕ 사이의 공간에 직선이 끼어들게 될 것이며, 이 직선은 직선들로 둘러싸인 각으로서 직선 ΒΑ와 원주 ΓΘΑ로 둘러싸인 각보다 크고 원주 ΓΘΑ와 직선 ΑΕ로 둘러싸인 각보다 작은 각을 만들 것이다.
οὐ παρεμπίπτει δέ·
그러나 끼어들지 않는다.
οὐκ ἄρα τῆς περιεχομένης γωνίας ὑπό τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας ἔσται μείζων ὀξεῖα ὑπὸ εὐθειῶν περιεχομένη, οὐδὲ μὴν ἐλάττων τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας.
그러므로 직선 ΒΑ와 원주 ΓΘΑ로 둘러싸인 각보다 큰, 직선들로 둘러싸인 예각은 존재하지 않을 것이며, 또한 원주 ΓΘΑ와 직선 ΑΕ로 둘러싸인 각보다 작은 예각도 존재하지 않을 것이다.
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένη ἐφάπτεται τοῦ κύκλου.
따름정리 이로부터 원의 지름의 끝점으로부터 지름에 수직으로 그은 직선은 원에 접한다는 것이 명백하다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.