§3.prop.14ἐν κύκλῳ αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου, καὶ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ἀπὸ τοῦ κέντρου ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
在圆中，等弦到圆心的距离相等；到圆心距离相等的弦也彼此相等。
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῷ ἴσαι εὐθεῖαι ἔστωσαν αἱ ΑΒ, ΓΔ· λέγω, ὅτι αἱ ΑΒ, ΓΔ ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου.
设 ΑΒΓΔ 为一圆，且在其中设 ΑΒ、ΓΔ 为等弦；我说，ΑΒ、ΓΔ 到圆心的距离相等。
εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου καὶ ἔστω τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὰς ΑΒ, ΓΔ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΕΖ, ΕΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ, ΕΓ.
ἐπεὶ οὖν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΕΖ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΒ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει.
因为，取圆 ΑΒΓΔ 的圆心并设为 Ε，自 Ε 向 ΑΒ、ΓΔ 作垂线 ΕΖ、ΕΗ，并连结 ΑΕ、ΕΓ。 于是，因为通过圆心的某直线 ΕΖ 与不通过圆心的某直线 ΑΒ 垂直相交，所以它也平分它。
ἴση ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ· διπλῆ ἄρα ἡ ΑΒ τῆς ΑΖ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΓΔ τῆς ΓΗ ἐστι διπλῆ· καί ἐστιν ἴση ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΖ τῇ ΓΗ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΓ, ἴσον καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΓ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΕΖ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Ζ γωνία· τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΓ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Η γωνία· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΖΕ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΗ, ΗΕ, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΗ· ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΓΗ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον ἐστίν· ἴση ἄρα ἡ ΕΖ τῇ ΕΗ. ἐν δὲ κύκλῳ ἴσον ἀπέχειν ἀπὸ τοῦ κέντρου εὐθεῖαι λέγονται, ὅταν αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπʼ αὐτὰς κάθετοι ἀγόμεναι ἴσαι ὦσιν· αἱ ἄρα ΑΒ, ΓΔ ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου.
因此 ΑΖ 等于 ΖΒ；所以 ΑΒ 是 ΑΖ 的两倍。 基于同样的原因，当然 ΓΔ 也是 ΓΗ 的两倍；且 ΑΒ 等于 ΓΔ；所以 ΑΖ 也等于 ΓΗ。 又因为 ΑΕ 等于 ΕΓ，所以 ΑΕ 上的正方形也等于 ΕΓ 上的正方形。 但是 ΑΖ、ΕΖ 上的正方形等于 ΑΕ 上的正方形；因为在 Ζ 处的角是直角；而 ΕΗ、ΗΓ 上的正方形等于 ΕΓ 上的正方形；因为在 Η 处的角是直角；所以 ΑΖ、ΖΕ 上的正方形等于 ΓΗ、ΗΕ 上的正方形，其中 ΑΖ 上的正方形等于 ΓΗ 上的正方形；因为 ΑΖ 等于 ΓΗ；所以余下的 ΖΕ 上的正方形等于 ΕΗ 上的正方形；因此 ΕΖ 等于 ΕΗ。 在圆中，当自圆心向它们所作的垂线相等时，这些直线就被称为到圆心距离相等；所以 ΑΒ、ΓΔ 到圆心的距离相等。
ἀλλὰ δὴ αἱ ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖαι ἴσον ἀπεχέτωσαν ἀπὸ τοῦ κέντρου, τουτέστιν ἴση ἔστω ἡ ΕΖ τῇ ΕΗ. λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, ὅτι διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ τῆς ΑΖ, ἡ δὲ ΓΔ τῆς ΓΗ· καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΓΕ, ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΕ· ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΑ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΓΕ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΓ. τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΑ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΓ·
然而，现在设直线 ΑΒ、ΓΔ 到圆心的距离相等，即设 ΕΖ 等于 ΕΗ。 我说，ΑΒ 也等于 ΓΔ。 因为，作相同的辅助线，我们同样可以证明 ΑΒ 是 ΑΖ 的两倍，ΓΔ 是 ΓΗ 的两倍；又因为 ΑΕ 等于 ΓΕ，所以 ΑΕ 上的正方形等于 ΓΕ 上的正方形；但是 ΕΖ、ΖΑ 上的正方形等于 ΑΕ 上的正方形，且 ΕΗ、ΗΓ 上的正方形等于 ΓΕ 上的正方形。
ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἐστιν ἴσον· ἴση γὰρ ἡ ΕΖ τῇ ΕΗ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΗ· ἴση ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΓΗ· καί ἐστι τῆς μὲν ΑΖ διπλῆ ἡ ΑΒ, τῆς δὲ ΓΗ διπλῆ ἡ ΓΔ·
所以 ΕΖ、ΖΑ 上的正方形等于 ΕΗ、ΗΓ 上的正方形；其中 ΕΖ 上的正方形等于 ΕΗ 上的正方形；因为 ΕΖ 等于 ΕΗ；所以余下的 ΑΖ 上的正方形等于 ΓΗ 上的正方形；因此 ΑΖ 等于 ΓΗ；且 ΑΒ 是 ΑΖ 的两倍，ΓΔ 是 ΓΗ 的两倍；所以 ΑΒ 等于 ΓΔ。
ἴση ἄρα ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.
ἐν κύκλῳ ἄρα αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου, καὶ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ἀπὸ τοῦ κέντρου ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，在圆中，等弦到圆心的距离相等；到圆心距离相等的弦也彼此相等；这就是所要证明的。