§3.prop.14ἐν κύκλῳ αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου, καὶ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ἀπὸ τοῦ κέντρου ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
円において、等しい直線は中心から等しく離れており、中心から等しく離れている直線は互いに等しい。
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῷ ἴσαι εὐθεῖαι ἔστωσαν αἱ ΑΒ, ΓΔ·
円をΑΒΓΔとし、その中において等しい直線を ΑΒ, ΓΔとせよ。
λέγω, ὅτι αἱ ΑΒ, ΓΔ ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου.
私は、ΑΒ, ΓΔは中心から等しく離れていると主張する。
εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου καὶ ἔστω τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὰς ΑΒ, ΓΔ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΕΖ, ΕΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ, ΕΓ.
ἐπεὶ οὖν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΕΖ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΒ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει.
なぜなら、円ΑΒΓΔの中心が取られたとし、それをΕとせよ。 そしてΕからΑΒ, ΓΔへ垂線ΕΖ, ΕΗが引かれたとし、ΑΕ, ΕΓが結ばれたとせよ。 したがって、中心を通るある直線ΕΖが、中心を通らないある直線ΑΒを直角に交わるように切るから、それはそれを二等分する。
ἴση ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ·
したがって、ΑΖはΖΒに等しい。
διπλῆ ἄρα ἡ ΑΒ τῆς ΑΖ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΓΔ τῆς ΓΗ ἐστι διπλῆ·
したがって、ΑΒはΑΖの2倍である。 同じ理由によって、当然ΓΔもΓΗの2倍である。
καί ἐστιν ἴση ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ·
そして ΑΒはΓΔに等しい。
ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΖ τῇ ΓΗ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΓ, ἴσον καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΓ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΕΖ·
したがって、ΑΖもΓΗに等しい。 そしてΑΕはΕΓに等しいから、ΑΕの上の正方形もΕΓの上の正方形に等しい。 しかし、ΑΕの上の正方形はΑΖ, ΕΖの上の正方形に等しい。
ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Ζ γωνία·
なぜなら、 Ζにおける角は直角だからである。
τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΓ·
また、ΕΓの上の正方形はΕΗ, ΗΓの上の正方形に等しい。
ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Η γωνία·
なぜなら、Ηにおける角は直角だからである。
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΖΕ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΗ, ΗΕ, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΗ·
したがって、ΑΖ, ΖΕの上の正方形は、ΓΗ, ΗΕの上の正方形に等しい。 これらのうち、ΑΖの上の正方形はΓΗの上の正方形に等しい。
ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΓΗ·
なぜなら、ΑΖはΓΗに等しいからである。
λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον ἐστίν·
したがって、残りのΖΕの上の正方形は、ΕΗの上の正方形に等しい。
ἴση ἄρα ἡ ΕΖ τῇ ΕΗ. ἐν δὲ κύκλῳ ἴσον ἀπέχειν ἀπὸ τοῦ κέντρου εὐθεῖαι λέγονται, ὅταν αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπʼ αὐτὰς κάθετοι ἀγόμεναι ἴσαι ὦσιν·
したがって、ΕΖはΕΗに等しい。 ところで円において、直線が中心から等しく離れていると言われるのは、中心からそれらへ引かれた垂線が等しいときである。
αἱ ἄρα ΑΒ, ΓΔ ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου.
したがって、ΑΒ, ΓΔは中心から等しく離れている。
ἀλλὰ δὴ αἱ ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖαι ἴσον ἀπεχέτωσαν ἀπὸ τοῦ κέντρου, τουτέστιν ἴση ἔστω ἡ ΕΖ τῇ ΕΗ. λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, ὅτι διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ τῆς ΑΖ, ἡ δὲ ΓΔ τῆς ΓΗ·
しかし、今度は直線ΑΒ, ΓΔが中心から等しく離れているとせよ。 すなわち、ΕΖはΕΗに等しいとせよ。 私は、ΑΒもΓΔに等しいと主張する。 なぜなら、同じ設定がなされたとすれば、同様にして、ΑΒはΑΖの2倍であり、ΓΔはΓΗの2倍であることを示すことができる。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΓΕ, ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΕ·
そしてΑΕはΓΕに等しいから、ΑΕの上の正方形は ΓΕの上の正方形に等しい。
ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΑ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΓΕ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΓ. τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΑ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΓ·
しかし、ΑΕの上の正方形はΕΖ, ΖΑの上の正方形に等しく、ΓΕの上の正方形はΕΗ, ΗΓの上の正方形に等しい。 したがって、ΕΖ, ΖΑの上の正方形は、ΕΗ, ΗΓの上の正方形に等しい。
ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἐστιν ἴσον·
これらのうち、ΕΖの上の正方形はΕΗの上の正方形に等しい。
ἴση γὰρ ἡ ΕΖ τῇ ΕΗ·
なぜなら、ΕΖはΕΗに等しいからである。
λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΗ·
したがって、残りのΑΖの上の正方形は ΓΗの上の正方形に等しい。
ἴση ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΓΗ·
したがって、ΑΖはΓΗに等しい。
καί ἐστι τῆς μὲν ΑΖ διπλῆ ἡ ΑΒ, τῆς δὲ ΓΗ διπλῆ ἡ ΓΔ·
そして、ΑΒはΑΖの2倍であり、ΓΔはΓΗの2倍である。
ἴση ἄρα ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.
ἐν κύκλῳ ἄρα αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου, καὶ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ἀπὸ τοῦ κέντρου ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν·
したがって、ΑΒはΓΔに等しい。 したがって、円において、等しい直線は中心から等しく離れており、中心から等しく離れている直線は互いに等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。