§3.prop.14ἐν κύκλῳ αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου, καὶ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ἀπὸ τοῦ κέντρου ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
원 안에서 길이가 같은 직선들은 중심으로부터 같은 거리에 있고, 중심으로부터 같은 거리에 있는 직선들은 서로 같다.
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῷ ἴσαι εὐθεῖαι ἔστωσαν αἱ ΑΒ, ΓΔ·
원을 ΑΒΓΔ라 하고, 그 안에서 ΑΒ, ΓΔ가 같은 직선들이라고 하자.
λέγω, ὅτι αἱ ΑΒ, ΓΔ ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου.
나는 ΑΒ, ΓΔ가 중심으로부터 같은 거리에 있다고 주장한다.
εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου καὶ ἔστω τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὰς ΑΒ, ΓΔ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΕΖ, ΕΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ, ΕΓ.
ἐπεὶ οὖν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΕΖ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΒ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει.
왜냐하면 원 ΑΒΓΔ의 중심을 잡고 그것을 Ε라고 하자. 그리고 Ε로부터 ΑΒ, ΓΔ에 수선 ΕΖ, ΕΗ를 긋고, ΑΕ, ΕΓ를 연결하자. 그러므로 중심을 지나는 어떤 직선 ΕΖ가 중심을 지나지 않는 어떤 직선 ΑΒ를 수직으로 자르므로, 그것은 그것을 이등분한다.
ἴση ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ·
그러므로 ΑΖ는 ΖΒ와 같다.
διπλῆ ἄρα ἡ ΑΒ τῆς ΑΖ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΓΔ τῆς ΓΗ ἐστι διπλῆ·
그러므로 ΑΒ는 ΑΖ의 두 배이다. 같은 이유로 당연히 ΓΔ도 ΓΗ의 두 배이다.
καί ἐστιν ἴση ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ·
그리고 ΑΒ는 ΓΔ와 같다.
ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΖ τῇ ΓΗ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΓ, ἴσον καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΓ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΕΖ·
그러므로 ΑΖ도 ΓΗ와 같다. 그리고 ΑΕ가 ΕΓ와 같으므로, ΑΕ 위의 정사각형도 ΕΓ 위의 정사각형과 같다. 그런데 ΑΖ, ΕΖ 위의 정사각형들의 합은 ΑΕ 위의 정사각형과 같다.
ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Ζ γωνία·
왜냐하면 Ζ에서의 각이 직각이기 때문이다.
τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΓ·
또한 ΕΗ, ΗΓ 위의 정사각형들의 합은 ΕΓ 위의 정사각형과 같다.
ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Η γωνία·
왜냐하면 Η에서의 각이 직각이기 때문이다.
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΖΕ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΗ, ΗΕ, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΗ·
그러므로 ΑΖ, ΖΕ 위의 정사각형들의 합은 ΓΗ, ΗΕ 위의 정사각형들의 합과 같다. 이들 중에서 ΑΖ 위의 정사각형은 ΓΗ 위의 정사각형과 같다.
ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΓΗ·
왜냐하면 ΑΖ는 ΓΗ와 같기 때문이다.
λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον ἐστίν·
그러므로 남은 ΖΕ 위의 정사각형은 ΕΗ 위의 정사각형과 같다.
ἴση ἄρα ἡ ΕΖ τῇ ΕΗ. ἐν δὲ κύκλῳ ἴσον ἀπέχειν ἀπὸ τοῦ κέντρου εὐθεῖαι λέγονται, ὅταν αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπʼ αὐτὰς κάθετοι ἀγόμεναι ἴσαι ὦσιν·
그러므로 ΕΖ는 ΕΗ와 같다. 그런데 원 안에서 직선들이 중심으로부터 같은 거리에 있다고 말해지는 것은, 중심으로부터 그 직선들에 그은 수선들이 같을 때이다.
αἱ ἄρα ΑΒ, ΓΔ ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου.
그러므로 ΑΒ, ΓΔ는 중심으로부터 같은 거리에 있다.
ἀλλὰ δὴ αἱ ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖαι ἴσον ἀπεχέτωσαν ἀπὸ τοῦ κέντρου, τουτέστιν ἴση ἔστω ἡ ΕΖ τῇ ΕΗ. λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, ὅτι διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ τῆς ΑΖ, ἡ δὲ ΓΔ τῆς ΓΗ·
그러나 이제 직선 ΑΒ, ΓΔ가 중심으로부터 같은 거리에 있다고 하자. 즉, ΕΖ가 ΕΗ와 같다고 하자. 나는 ΑΒ도 ΓΔ와 같다고 주장한다. 왜냐하면 같은 작도를 하면, 우리는 마찬가지로 ΑΒ가 ΑΖ의 두 배이고 ΓΔ가 ΓΗ의 두 배임을 보일 것이다.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΓΕ, ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΕ·
그리고 ΑΕ가 ΓΕ와 같으므로, ΑΕ 위의 정사각형은 ΓΕ 위의 정사각형과 같다.
ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΑ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΓΕ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΓ. τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΑ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΓ·
그런데 ΕΖ, ΖΑ 위의 정사각형들의 합은 ΑΕ 위의 정사각형과 같고, ΕΗ, ΗΓ 위의 정사각형들의 합은 ΓΕ 위의 정사각형과 같다. 그러므로 ΕΖ, ΖΑ 위의 정사각형들의 합은 ΕΗ, ΗΓ 위의 정사각형들의 합과 같다.
ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἐστιν ἴσον·
이들 중에서 ΕΖ 위의 정사각형은 ΕΗ 위의 정사각형과 같다.
ἴση γὰρ ἡ ΕΖ τῇ ΕΗ·
왜냐하면 ΕΖ는 ΕΗ와 같기 때문이다.
λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΗ·
그러므로 남은 ΑΖ 위의 정사각형은 ΓΗ 위의 정사각형과 같다.
ἴση ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΓΗ·
그러므로 ΑΖ는 ΓΗ와 같다.
καί ἐστι τῆς μὲν ΑΖ διπλῆ ἡ ΑΒ, τῆς δὲ ΓΗ διπλῆ ἡ ΓΔ·
그리고 ΑΒ는 ΑΖ의 두 배이고, ΓΔ는 ΓΗ의 두 배이다.
ἴση ἄρα ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.
ἐν κύκλῳ ἄρα αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου, καὶ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ἀπὸ τοῦ κέντρου ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν·
그러므로 ΑΒ는 ΓΔ와 같다. 그러므로 원 안에서 길이가 같은 직선들은 중심으로부터 같은 거리에 있고, 중심으로부터 같은 거리에 있는 직선들은 서로 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.