§3.prop.11ἐὰν δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων ἐντός, καὶ ληφθῇ αὐτῶν τὰ κέντρα, ἡ ἐπὶ τὰ κέντρα αὐτῶν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα καὶ ἐκβαλλομένη ἐπὶ τὴν συναφὴν πεσεῖται τῶν κύκλων.
만약 두 원이 서로 내접하고, 그들의 중심들이 잡힌다면, 그들의 중심들을 연결하고 연장된 직선은 원들의 접점에 떨어질 것이다.
δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΑΔΕ ἐφαπτέσθωσαν ἀλλήλων ἐντὸς κατὰ τὸ Α σημεῖον, καὶ εἰλήφθω τοῦ μὲν ΑΒΓ κύκλου κέντρον τὸ Ζ, τοῦ δὲ ΑΔΕ τὸ Η·
왜냐하면 두 원 ΑΒΓ, ΑΔΕ가 점 Α에서 서로 내접한다고 하자. 그리고 원 ΑΒΓ의 중심을 Ζ, 원 ΑΔΕ의 중심을 Η라고 하자.
λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Ζ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκβαλλομένη ἐπὶ τὸ Α πεσεῖται.
나는 Η로부터 Ζ까지 연결되고 연장된 직선이 Α에 떨어질 것이라고 주장한다.
μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, πιπτέτω ὡς ἡ ΖΗΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΑΗ.
ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΗ, ΗΖ τῆς ΖΑ, τουτέστι τῆς ΖΘ, μείζονές εἰσιν, κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΖΗ·
왜냐하면 그렇지 않고, 만약 가능하다면, ΖΗΘ처럼 떨어진다고 하자. 그리고 ΑΖ, ΑΗ가 연결되었다고 하자. 그러므로 ΑΗ, ΗΖ는 ΖΑ(즉 ΖΘ)보다 크므로, 공통인 ΖΗ가 빼어지게 하자.
λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΗ λοιπῆς τῆς ΗΘ μείζων ἐστίν.
그러므로 남은 ΑΗ는 남은 ΗΘ보다 크다.
ἴση δὲ ἡ ΑΗ τῇ ΗΔ·
그런데 ΑΗ는 ΗΔ와 같다.
καὶ ἡ ΗΔ ἄρα τῆς ΗΘ μείζων ἐστὶν ἡ ἐλάττων τῆς μείζονος·
그러므로 ΗΔ도 ΗΘ보다 크며, 작은 것이 큰 것보다 크게 된다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον·
이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Η ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκτὸς πεσεῖται·
그러므로 Ζ로부터 Η까지 연결된 직선은 바깥에 떨어지지 않을 것이다.
κατὰ τὸ Α ἄρα ἐπὶ τῆς συναφῆς πεσεῖται.
그러므로 접점인 Α에 떨어질 것이다.
ἐὰν ἄρα δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων ἐντός,, ἡ ἐπὶ τὰ κέντρα αὐτῶν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐπὶ τὴν συναφὴν πεσεῖται τῶν κύκλων·
그러므로 만약 두 원이 서로 내접한다면, 그들의 중심들을 연결한 직선은 원들의 접점에 떨어질 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.
§3.prop.12ἐὰν δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων ἐκτός, ἡ ἐπὶ τὰ κέντρα αὐτῶν ἐπιζευγνυμένη διὰ τῆς ἐπαφῆς ἐλεύσεται.
만약 두 원이 서로 외접한다면, 그들의 중심들을 연결한 직선은 접점을 지나갈 것이다.
δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΑΔΕ ἐφαπτέσθωσαν ἀλλήλων ἐκτὸς κατὰ τὸ Α σημεῖον, καὶ εἰλήφθω τοῦ μὲν ΑΒΓ κέντρον τὸ Ζ, τοῦ δὲ ΑΔΕ τὸ Η·
왜냐하면 두 원 ΑΒΓ, ΑΔΕ가 점 Α에서 서로 외접한다고 하자. 그리고 원 ΑΒΓ의 중심을 Ζ, 원 ΑΔΕ의 중심을 Η라고 하자.
λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Η ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα διὰ τῆς κατὰ τὸ Α ἐπαφῆς ἐλεύσεται.
나는 Ζ로부터 Η까지 연결된 직선이 점 Α에서의 접점을 지나갈 것이라고 주장한다.
μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, ἐρχέσθω ὡς ἡ ΖΓΔΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΑΗ.
ἐπεὶ οὖν τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΖΑ τῇ ΖΓ. πάλιν, ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΔΕ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΗΑ τῇ ΗΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΖΑ τῇ ΖΓ ἴση·
왜냐하면 그렇지 않고, 만약 가능하다면, ΖΓΔΗ처럼 지나간다고 하자. 그리고 ΑΖ, ΑΗ가 연결되었다고 하자. 그러므로 점 Ζ는 원 ΑΒΓ의 중심이므로, ΖΑ는 ΖΓ와 같다. 다시, 점 Η는 원 ΑΔΕ의 중심이므로, ΗΑ는 ΗΔ와 같다. 그런데 ΖΑ가 ΖΓ와 같다는 것도 증명되었다.
αἱ ἄρα ΖΑ, ΑΗ ταῖς ΖΓ, ΗΔ ἴσαι εἰσίν·
그러므로 ΖΑ, ΑΗ는 ΖΓ, ΗΔ와 같다.
ὥστε ὅλη ἡ ΖΗ τῶν ΖΑ, ΑΗ μείζων ἐστίν· ἀλλὰ καὶ ἐλάττων·
따라서 전체 ΖΗ는 ΖΑ, ΑΗ보다 크지만, 또한 작기도 하다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Η ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα διὰ τῆς κατὰ τὸ Α ἐπαφῆς οὐκ ἐλεύσεται·
그러므로 Ζ로부터 Η까지 연결된 직선이 점 Α에서의 접점을 지나가지 않는 일은 없을 것이다.
διʼ αὐτῆς ἄρα.
그러므로 그것을 지나갈 것이다.
ἐὰν ἄρα δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων ἐκτός, ἡ ἐπὶ τὰ κέντρα αὐτῶν ἐπιζευγνυμένη διὰ τῆς ἐπαφῆς ἐλεύσεται·
그러므로 만약 두 원이 서로 외접한다면, 그들의 중심들을 연결한 직선은 접점을 지나갈 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.
§3.prop.13κύκλος κύκλου οὐκ ἐφάπτεται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ καθʼ ἕν, ἐάν τε ἐντὸς ἐάν τε ἐκτὸς ἐφάπτηται.
원은 다른 원과 내접하든 외접하든 한 개보다 많은 점에서 접하지 않는다.
εἰ γὰρ δυνατόν, κύκλος ὁ ΑΒΓΔ κύκλου τοῦ ΕΒΖΔ ἐφαπτέσθω πρότερον ἐντὸς κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἓν τὰ δ, Β.
καὶ εἰλήφθω τοῦ μὲν ΑΒΓΔ κύκλου κέντρον τὸ Η, τοῦ δὲ ΕΒΖΔ τὸ Θ.
ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Θ ἐπιζευγνυμένη ἐπὶ τὰ Β, Δ πεσεῖται.
왜냐하면 만약 가능하다면, 먼저 원 ΑΒΓΔ가 원 ΕΒΖΔ와 한 개보다 많은 점 δ, Β에서 내접한다고 하자. 그리고 원 ΑΒΓΔ의 중심을 Η, 원 ΕΒΖΔ의 중심을 Θ라고 하자. 그러므로 Η로부터 Θ까지 연결된 직선은 Β, Δ에 떨어질 것이다.
πιπτέτω ὡς ἡ ΒΗΘΔ. καὶ ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΔ·
그것이 ΒΗΘΔ처럼 떨어진다고 하자. 그리고 점 Η가 원 ΑΒΓΔ의 중심이므로, ΒΗ는 ΗΔ와 같다.
μείζων ἄρα ἡ ΒΗ τῆς ΘΔ·
그러므로 ΒΗ는 ΘΔ보다 크다.
πολλῷ ἄρα μείζων ἡ ΒΘ τῆς ΘΔ. πάλιν, ἐπεὶ τὸ Θ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΕΒΖΔ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΘ τῇ ΘΔ·
그러므로 ΒΘ는 ΘΔ보다 훨씬 크다. 다시, 점 Θ가 원 ΕΒΖΔ의 중심이므로, ΒΘ는 ΘΔ와 같다.
ἐδείχθη δὲ αὐτῆς καὶ πολλῷ μείζων·
그런데 그것은 그것보다 훨씬 크다고도 증명되었다.
ὅπερ ἀδύνατον·
이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα κύκλος κύκλου ἐφάπτεται ἐντὸς κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἕν.
그러므로 원은 다른 원과 내접할 때 한 개보다 많은 점에서 접하지 않는다.
λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἐκτός.
나는 외접할 때도 그렇지 않다고 주장한다.
εἰ γὰρ δυνατόν, κύκλος ὁ ΑΓΚ κύκλου τοῦ ΑΒΓΔ ἐφαπτέσθω ἐκτὸς κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἓν τὰ Α, Γ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ.
ἐπεὶ οὖν κύκλων τῶν ΑΒΓΔ, ΑΓΚ εἴληπται ἐπὶ τῆς περιφερείας ἑκατέρου δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Α, Γ, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς ἑκατέρου πεσεῖται·
왜냐하면 만약 가능하다면, 원 ΑΓΚ가 원 ΑΒΓΔ와 한 개보다 많은 점 Α, Γ에서 외접한다고 하자. 그리고 ΑΓ가 연결되었다고 하자. 그러므로 원 ΑΒΓΔ, ΑΓΚ 각각의 원주 위에 임의의 두 점 Α, Γ가 잡혔으므로, 그 점들을 연결한 직선은 각각의 내부에 떨어질 것이다.
ἀλλὰ τοῦ μὲν ΑΒΓΔ ἐντὸς ἔπεσεν, τοῦ δὲ ΑΓΚ ἐκτός·
그런데 그것은 ΑΒΓΔ의 내부에는 떨어졌으나 ΑΓΚ의 외부에는 떨어졌다.
ὅπερ ἄτοπον·
이것은 불합리하다.
οὐκ ἄρα κύκλος κύκλου ἐφάπτεται ἐκτὸς κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἕν.
그러므로 원은 다른 원과 외접할 때 한 개보다 많은 점에서 접하지 않는다.
ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ ἐντός.
그리고 내접할 때도 그렇지 않다고 증명되었다.
κύκλος ἄρα κύκλου οὐκ ἐφάπτεται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἕν, ἐάν τε ἐντὸς ἐάν τε ἐκτὸς ἐφάπτηται·
그러므로 원은 내접하든 외접하든 다른 원과 한 개보다 많은 점 에서 접하지 않는다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.