§3.prop.11ἐὰν δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων ἐντός, καὶ ληφθῇ αὐτῶν τὰ κέντρα, ἡ ἐπὶ τὰ κέντρα αὐτῶν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα καὶ ἐκβαλλομένη ἐπὶ τὴν συναφὴν πεσεῖται τῶν κύκλων.
もし2つの円が互いに内接し、それらの中心が取られるならば、それらの中心を結び、かつ延長された直線は、それらの円の接点に落ちるであろう。
δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΑΔΕ ἐφαπτέσθωσαν ἀλλήλων ἐντὸς κατὰ τὸ Α σημεῖον, καὶ εἰλήφθω τοῦ μὲν ΑΒΓ κύκλου κέντρον τὸ Ζ, τοῦ δὲ ΑΔΕ τὸ Η·
なぜなら、2つの円ΑΒΓ, ΑΔΕが点Αにおいて互いに内接するとせよ。 そして円ΑΒΓの中心をΖ、円ΑΔΕの中心をΗとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Ζ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκβαλλομένη ἐπὶ τὸ Α πεσεῖται.
私は、ΗからΖへ結ばれ、延長された直線が、Αに落ちるであろうと主張する。
μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, πιπτέτω ὡς ἡ ΖΗΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΑΗ.
ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΗ, ΗΖ τῆς ΖΑ, τουτέστι τῆς ΖΘ, μείζονές εἰσιν, κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΖΗ·
なぜなら、そうではないとして、もし可能なら、ΖΗΘのように落ちるとせよ。 そしてΑΖ, ΑΗが結ばれたとせよ。 したがって、ΑΗ, ΗΖはΖΑ（すなわちΖΘ）よりも大きいから、共通のものとしてΖΗが引かれたとせよ。
λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΗ λοιπῆς τῆς ΗΘ μείζων ἐστίν.
したがって残りのΑΗは残りのΗΘよりも大きい。
ἴση δὲ ἡ ΑΗ τῇ ΗΔ·
しかしΑΗはΗΔに等しい。
καὶ ἡ ΗΔ ἄρα τῆς ΗΘ μείζων ἐστὶν ἡ ἐλάττων τῆς μείζονος·
したがって、 ΗΔもΗΘよりも大きいことになり、小さいものが大きいものより大きいことになる。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον·
これは不可能である。
οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Η ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκτὸς πεσεῖται·
したがって、ΖからΗへ結ばれた直線は（接点の）外側に落ちることはない。
κατὰ τὸ Α ἄρα ἐπὶ τῆς συναφῆς πεσεῖται.
したがって接点であるΑに落ちるであろう。
ἐὰν ἄρα δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων ἐντός,, ἡ ἐπὶ τὰ κέντρα αὐτῶν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐπὶ τὴν συναφὴν πεσεῖται τῶν κύκλων·
したがって、もし2つの円が互いに内接するならば、それらの中心を結んだ直線はそれらの円の接点に落ちるであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§3.prop.12ἐὰν δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων ἐκτός, ἡ ἐπὶ τὰ κέντρα αὐτῶν ἐπιζευγνυμένη διὰ τῆς ἐπαφῆς ἐλεύσεται.
もし2つの円が互いに外接するならば、それらの中心を結んだ直線は接点を通るであろう。
δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΑΔΕ ἐφαπτέσθωσαν ἀλλήλων ἐκτὸς κατὰ τὸ Α σημεῖον, καὶ εἰλήφθω τοῦ μὲν ΑΒΓ κέντρον τὸ Ζ, τοῦ δὲ ΑΔΕ τὸ Η·
なぜなら、2つの円ΑΒΓ, ΑΔΕが点Αにおいて互いに外接するとせよ。 そして円ΑΒΓの中心をΖ、円ΑΔΕの中心をΗとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Η ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα διὰ τῆς κατὰ τὸ Α ἐπαφῆς ἐλεύσεται.
私は、ΖからΗへ結ばれた直線が、点Αにおける接点を通るであろうと主張する。
μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, ἐρχέσθω ὡς ἡ ΖΓΔΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΑΗ.
ἐπεὶ οὖν τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΖΑ τῇ ΖΓ. πάλιν, ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΔΕ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΗΑ τῇ ΗΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΖΑ τῇ ΖΓ ἴση·
なぜなら、そうではないとして、もし可能なら、ΖΓΔΗのように通るとせよ。 そしてΑΖ, ΑΗが結ばれたとせよ。 したがって、点Ζは円ΑΒΓの中心であるから、ΖΑはΖΓに等しい。 次に、点Ηは円ΑΔΕの中心であるから、ΗΑはΗΔに等しい。 しかし、ΖΑがΖΓに等しいことも示された。
αἱ ἄρα ΖΑ, ΑΗ ταῖς ΖΓ, ΗΔ ἴσαι εἰσίν·
したがって、ΖΑ, ΑΗはΖΓ, ΗΔに等しい。
ὥστε ὅλη ἡ ΖΗ τῶν ΖΑ, ΑΗ μείζων ἐστίν· ἀλλὰ καὶ ἐλάττων·
したがって、全体であるΖΗはΖΑ, ΑΗよりも大きいが、しかし同時に小さい。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Η ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα διὰ τῆς κατὰ τὸ Α ἐπαφῆς οὐκ ἐλεύσεται·
したがって、ΖからΗへ結ばれた直線が、点Αにおける接点を通らないということはない。
διʼ αὐτῆς ἄρα.
したがって、そこを通る。
ἐὰν ἄρα δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων ἐκτός, ἡ ἐπὶ τὰ κέντρα αὐτῶν ἐπιζευγνυμένη διὰ τῆς ἐπαφῆς ἐλεύσεται·
したがって、もし2つの円が互いに外接するならば、それらの中心を結んだ直線は接点を通るであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§3.prop.13κύκλος κύκλου οὐκ ἐφάπτεται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ καθʼ ἕν, ἐάν τε ἐντὸς ἐάν τε ἐκτὸς ἐφάπτηται.
円は、内接するにせよ外接するにせよ、別の円と1つより多くの点で接することはない。
εἰ γὰρ δυνατόν, κύκλος ὁ ΑΒΓΔ κύκλου τοῦ ΕΒΖΔ ἐφαπτέσθω πρότερον ἐντὸς κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἓν τὰ δ, Β.
καὶ εἰλήφθω τοῦ μὲν ΑΒΓΔ κύκλου κέντρον τὸ Η, τοῦ δὲ ΕΒΖΔ τὸ Θ.
ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Θ ἐπιζευγνυμένη ἐπὶ τὰ Β, Δ πεσεῖται.
なぜなら、もし可能なら、まず円ΑΒΓΔが円ΕΒΖΔに、1つより多くの点である δ, Βにおいて内接するとせよ。 そして、円ΑΒΓΔの中心をΗ、円ΕΒΖΔの中心をΘとせよ。 したがって、ΗからΘへ結ばれた直線はΒ, Δに落ちるであろう。
πιπτέτω ὡς ἡ ΒΗΘΔ. καὶ ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΔ·
それはΒΗΘΔのように落ちるとせよ。 そして、点Ηは円ΑΒΓΔの中心であるから、ΒΗはΗΔに等しい。
μείζων ἄρα ἡ ΒΗ τῆς ΘΔ·
したがって、ΒΗはΘΔよりも大きい。
πολλῷ ἄρα μείζων ἡ ΒΘ τῆς ΘΔ. πάλιν, ἐπεὶ τὸ Θ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΕΒΖΔ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΘ τῇ ΘΔ·
したがって、ΒΘはΘΔよりもはるかに大きい。 次に、点Θは円ΕΒΖΔの中心であるから、ΒΘは ΘΔに等しい。
ἐδείχθη δὲ αὐτῆς καὶ πολλῷ μείζων·
しかし、それはそれよりもはるかに大きいとも示された。
ὅπερ ἀδύνατον·
これは不可能である。
οὐκ ἄρα κύκλος κύκλου ἐφάπτεται ἐντὸς κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἕν.
したがって、円は別の円に内接する場合、1つより多くの点で接することはない。
λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἐκτός.
私は、外接する場合もそうではないと主張する。
εἰ γὰρ δυνατόν, κύκλος ὁ ΑΓΚ κύκλου τοῦ ΑΒΓΔ ἐφαπτέσθω ἐκτὸς κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἓν τὰ Α, Γ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ.
ἐπεὶ οὖν κύκλων τῶν ΑΒΓΔ, ΑΓΚ εἴληπται ἐπὶ τῆς περιφερείας ἑκατέρου δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Α, Γ, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς ἑκατέρου πεσεῖται·
なぜなら、もし可能なら、円ΑΓΚが円ΑΒΓΔに、1つより多くの点Α, Γにおいて外接するとせよ。 そして、ΑΓが結ばれたとせよ。 したがって、円ΑΒΓΔ, ΑΓΚのそれぞれの周の上に、任意の2つの点Α, Γが取られているから、それらの点を結んだ直線は、それぞれの内部に落ちるであろう。
ἀλλὰ τοῦ μὲν ΑΒΓΔ ἐντὸς ἔπεσεν, τοῦ δὲ ΑΓΚ ἐκτός·
しかし、それはΑΒΓΔの内部に落ち、ΑΓΚの外部に落ちた。
ὅπερ ἄτοπον·
これは不条理である。
οὐκ ἄρα κύκλος κύκλου ἐφάπτεται ἐκτὸς κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἕν.
したがって、円は別の円に外接する場合、1つより多くの点で接することはない。
ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ ἐντός.
また、内接する場合もそうではないと示された。
κύκλος ἄρα κύκλου οὐκ ἐφάπτεται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἕν, ἐάν τε ἐντὸς ἐάν τε ἐκτὸς ἐφάπτηται·
したがって、円は、内接するにせよ外接するにせよ、別の円と1つより多くの点で接することはない。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。