§3.prop.1τοῦ δοθέντος κύκλου τὸ κέντρον εὑρεῖν.
与えられた円の中心を見出すこと。
ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓ·
与えられた円をΑΒΓとせよ。
δεῖ δὴ τοῦ ΑΒΓ κύκλου τὸ κέντρον εὑρεῖν.
円ΑΒΓの中心を見出さねばならない。
διήχθω τις εἰς αὐτόν, ὡς ἔτυχεν, εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Δ σημεῖον, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΔΓ καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ τετμήσθω ἡ ΓΕ δίχα κατὰ τὸ Ζ·
円の中に任意の直線ΑΒを引け、そしてそれを点Δにおいて二等分せよ。 そしてΔからΑΒに直角にΔΓを引いてΕまで延長せよ。 そしてΓΕを点Ζにおいて二等分せよ。
λέγω, ὅτι τὸ Ζ κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ.
私は、ΖがΑΒΓの中心であると主張する。
μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, ἔστω τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΑ, ΗΔ, ΗΒ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΔΗ, δύο δὴ αἱ ΑΔ, ΔΗ δύο ταῖς ΗΔ, ΔΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
なぜなら、そうではないとして、もし可能ならば、Ηが中心であるとし、ΗΑ、ΗΔ、ΗΒを結べ。 そしてΑΔはΔΒに等しく、ΔΗは共通であるから、２つのΑΔ、ΔΗはそれぞれ２つのΗΔ、ΔΒに等しい。
καὶ βάσις ἡ ΗΑ βάσει τῇ ΗΒ ἐστιν ἴση·
そして底辺ΗΑは底辺ΗΒに等しい。
ἐκ κέντρου γάρ·
なぜなら中心からだからである。
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΗΔΒ ἴση ἐστίν.
したがって角ΑΔΗは角ΗΔΒに等しい。
ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστιν·
直線が直線の上に立って、隣り合う角を互いに等しくするとき、それら等しい角のそれぞれは直角である。
ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΔΒ. ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΔΒ ὀρθή·
したがって角ΗΔΒは直角である。 しかし角ΖΔΒもまた直角である。
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΔΒ τῇ ὑπὸ ΗΔΒ, ἡ μείζων τῇ ἐλάττονι·
したがって角ΖΔΒは角ΗΔΒに等しい、すなわち大きい方が小さい方に。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα τὸ Η κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
したがってΗは円ΑΒΓの中心ではない。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδʼ ἄλλο τι πλὴν τοῦ Ζ.
τὸ Ζ ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ.
同様にして、私たちはΖ以外のいかなるものも中心ではないことを示すであろう。 したがって点ΖはΑΒΓの中心である。
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις εὐθεῖάν τινα δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνῃ, ἐπὶ τῆς τεμνούσης ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου·
系したがって、これより、もし円においてある直線が別の直線を二等分し、かつ直角に交わるならば、円の中心はその交わる直線の上にあるということは明らかである。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これこそ作図すべきものであった。
§3.prop.2ἐὰν κύκλου ἐπὶ τῆς περιφερείας ληφθῇ δύο τυχόντα σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου.
もし円の周上に任意の二つの点が取られるならば、それらの点に結ばれる直線は円の内側に落ちるであろう。
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ εἰλήφθω δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Α, Β·
円をΑΒΓとし、その周上に任意の二つの点Α、Βが取られたとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου.
私は、ΑからΒへ結ばれる直線は円の内側に落ちると主張する。
μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, πιπτέτω ἐκτὸς ὡς ἡ ΑΕΒ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ ἔστω τὸ δ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΑ, ΔΒ, καὶ διήχθω ἡ ΔΖΕ.
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΔΒ, ἴση ἄρα καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΕ τῇ ὑπὸ ΔΒΕ·
なぜなら、そうではないとして、もし可能ならば、ΑΕΒのように外側に落ちるとし、円ΑΒΓの中心が取られ、それを Δとし、ΔΑ、ΔΒが結ばれ、ΔΖΕが引かれたとせよ。 そこで、ΔΑはΔΒに等しいから、角ΔΑΕもまた角ΔΒΕに等しい。
καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΔΑΕ μία πλευρὰ προσεκβέβληται ἡ ΑΕΒ, μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΒ γωνία τῆς ὑπὸ ΔΑΕ. ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΔΑΕ τῇ ὑπὸ ΔΒΕ·
そして三角形ΔΑΕの１つの辺ΑΕΒが延長されているから、角ΔΕΒは角ΔΑΕよりも大きい。 しかし角ΔΑΕは角ΔΒΕに等しい。
μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΒ τῆς ὑπὸ ΔΒΕ. ὑπὸ δὲ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει·
したがって角ΔΕΒは角ΔΒΕよりも大きい。 より大きい角の下にはより大きい辺が対面する。
μείζων ἄρα ἡ ΔΒ τῆς ΔΕ. ἴση δὲ ἡ ΔΒ τῇ ΔΖ. μείζων ἄρα ἡ ΔΖ τῆς ΔΕ ἡ ἐλάττων τῆς μείζονος·
したがってΔΒはΔΕよりも大きい。 しかし ΔΒはΔΖに等しい。 したがってΔΖはΔΕよりも大きい、すなわち小さい方が大きい方よりも大きい。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου.
したがってΑからΒへ結ばれる直線は円の外側に落ちることはない。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἐπʼ αὐτῆς τῆς περιφερείας·
同様にして、私たちはそれが円周そのものの上にも落ちないことを示すであろう。
ἐντὸς ἄρα.
したがって内側に落ちる。
ἐὰν ἄρα κύκλου ἐπὶ τῆς περιφερείας ληφθῇ δύο τυχόντα σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου·
したがって、もし円の周上に任意の二つの点が取られるならば、それらの点に結ばれる直線は円の内側に落ちるであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきものであった。