§3.prop.1τοῦ δοθέντος κύκλου τὸ κέντρον εὑρεῖν.
주어진 원의 중심을 찾는 것.
ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓ·
주어진 원을 ABC라 하자.
δεῖ δὴ τοῦ ΑΒΓ κύκλου τὸ κέντρον εὑρεῖν.
이제 원 ABC의 중심을 찾아야 한다.
διήχθω τις εἰς αὐτόν, ὡς ἔτυχεν, εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Δ σημεῖον, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΔΓ καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ τετμήσθω ἡ ΓΕ δίχα κατὰ τὸ Ζ·
그 원 안에 임의의 직선 AB를 긋고, 점 D에서 그것을 이등분하라. 그리고 D로부터 AB에 수직으로 DG를 긋고 E까지 연장하라. 그리고 GE를 점 Z에서 이등분하라.
λέγω, ὅτι τὸ Ζ κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ.
나는 Z가 ABC의 중심이라고 주장한다.
μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, ἔστω τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΑ, ΗΔ, ΗΒ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΔΗ, δύο δὴ αἱ ΑΔ, ΔΗ δύο ταῖς ΗΔ, ΔΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
그렇지 않다고 하고, 가능하다면 H가 중심이라 하자. 그리고 HA, HD, HB를 연결하라. 그리고 AD가 DB와 같고 DH는 공통이므로, 두 변 AD, DH는 두 변 HD, DB와 각각 같다.
καὶ βάσις ἡ ΗΑ βάσει τῇ ΗΒ ἐστιν ἴση·
그리고 밑변 HA는 밑변 HB와 같다.
ἐκ κέντρου γάρ·
중심으로부터 그은 선분이기 때문이다.
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΗΔΒ ἴση ἐστίν.
그러므로 각 ADH는 각 HDB와 같다.
ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστιν·
직선이 다른 직선 위에 서서 인접한 각들을 서로 같게 만들 때, 그 같은 각들 각각은 직각이다.
ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΔΒ. ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΔΒ ὀρθή·
그러므로 각 HDB는 직각이다. 그런데 각 ZDB도 직각이다.
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΔΒ τῇ ὑπὸ ΗΔΒ, ἡ μείζων τῇ ἐλάττονι·
그러므로 각 ZDB는 각 HDB와 같다. 즉 더 큰 각이 더 작은 각과 같다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이는 불가능하다.
οὐκ ἄρα τὸ Η κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
그러므로 H는 원 ABC의 중심이 아니다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδʼ ἄλλο τι πλὴν τοῦ Ζ.
τὸ Ζ ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ.
같은 방법으로 우리는 Z 이외의 어떤 다른 점도 중심이 아님을 보일 수 있다. 그러므로 점 Z는 ABC의 중심이다.
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις εὐθεῖάν τινα δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνῃ, ἐπὶ τῆς τεμνούσης ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου·
따름정리 이로부터 분명한 것은, 원 안에서 어떤 직선이 다른 직선을 이등분하면서 수직으로 자른다면, 원의 중심은 그 자르는 직선 위에 있다는 것이다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 하고자 했던 일이다.
§3.prop.2ἐὰν κύκλου ἐπὶ τῆς περιφερείας ληφθῇ δύο τυχόντα σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου.
원 호 위에 임의의 두 점을 잡으면, 그 두 점을 연결하는 직선은 원의 안쪽에 떨어질 것이다.
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ εἰλήφθω δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Α, Β·
원을 ABC라 하고, 그 호 위에 임의의 두 점 A, B를 잡았다고 하자.
λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου.
나는 A로부터 B로 연결되는 직선이 원의 안쪽에 떨어질 것이라고 주장한다.
μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, πιπτέτω ἐκτὸς ὡς ἡ ΑΕΒ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ ἔστω τὸ δ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΑ, ΔΒ, καὶ διήχθω ἡ ΔΖΕ.
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΔΒ, ἴση ἄρα καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΕ τῇ ὑπὸ ΔΒΕ·
그렇지 않고 가능하다면 AEB와 같이 바깥쪽에 떨어진다고 하자. 그리고 원 ABC의 중심을 잡아 D라 하고, DA, DB를 연결하고, DZE를 긋자. 그러면 DA가 DB와 같으므로, 각 DAE 역시 각 DBE와 같다.
καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΔΑΕ μία πλευρὰ προσεκβέβληται ἡ ΑΕΒ, μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΒ γωνία τῆς ὑπὸ ΔΑΕ. ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΔΑΕ τῇ ὑπὸ ΔΒΕ·
그리고 삼각형 DAE의 한 변 AEB가 연장되어 있으므로, 각 DEB는 각 DAE보다 크다. 그런데 각 DAE는 각 DBE와 같다.
μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΒ τῆς ὑπὸ ΔΒΕ. ὑπὸ δὲ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει·
그러므로 각 DEB는 각 DBE보다 크다. 더 큰 각 대하는 쪽에는 더 긴 변이 마주 본다.
μείζων ἄρα ἡ ΔΒ τῆς ΔΕ. ἴση δὲ ἡ ΔΒ τῇ ΔΖ. μείζων ἄρα ἡ ΔΖ τῆς ΔΕ ἡ ἐλάττων τῆς μείζονος·
그러므로 DB는 DE보다 크다. 그런데 DB는 DZ와 같다. 그러므로 DZ는 DE보다 크다. 즉 더 작은 것이 더 큰 것보다 크다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이는 불가능하다.
οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου.
그러므로 A로부터 B로 연결되는 직선은 원의 바깥쪽에 떨어지지 않을 것이다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἐπʼ αὐτῆς τῆς περιφερείας·
같은 방법으로 우리는 그것이 호 자체 위에도 떨어지지 않음을 보일 수 있다.
ἐντὸς ἄρα.
그러므로 안쪽에 떨인다.
ἐὰν ἄρα κύκλου ἐπὶ τῆς περιφερείας ληφθῇ δύο τυχόντα σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου·
그러므로 원 호 위에 임의의 두 점을 잡으면, 그 두 점을 연결하는 직선은 원의 안쪽에 떨어질 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 일이다.