§2.prop.13ἐν τοῖς ὀξυγωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀξεῖαν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἔλαττόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ὀξεῖαν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνων τῷ περιεχομένῳ δὶς ὑπό τε μιᾶς τῶν περὶ τὴν ὀξεῖαν γωνίαν, ἐφʼ ἣν ἡ κάθετος πίπτει, καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ἐντὸς ὑπὸ τῆς καθέτου πρὸς τῇ ὀξείᾳ γωνίᾳ.
在锐角三角形中，对锐角的边上所作的正方形，小于夹锐角诸边上所作正方形之和，其相差之数等于夹锐角的其中一边（即垂线所落的那一边）与垂线在锐角内侧所截出的线段所构成的矩形的两倍。
ἔστω ὀξυγώνιον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ὀξεῖαν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΔ·
设 ABG 为一锐角三角形，其在 B 点的角为锐角，并设从 A 点向 BG 引垂线 AD。
λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον ἔλαττόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΑ τετραγώνων τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
我说，在 AG 上所作的正方形，小于在 GB、BA 上所作的正方形之和，其相差之数等于由 GB、BD 所构成的矩形的两倍。
ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΓΒ τέτμηται, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ Δ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΓ τετραγώνῳ.
因为，既然直线 GB 在 D 点被任意切分，所以在 GB、BD 上所作的正方形之和，等于由 GB、BD 所构成的矩形的两倍，与在 DG 上所作的正方形之和。
κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΔΑ τετράγωνον· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ, ΔΑ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ τετραγώνοις.
给双方加上共同的在 DA 上所作的正方形；因此，在 GB、BD、DA 上所作的正方形之和，等于由 GB、BD 所构成的矩形的两倍，与在 AD、DG 上所作的正方形之和。
ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΒΔ, ΔΑ ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Δ γωνίᾳ· τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΑ ἴσα ἐστὶ τῷ τε ἀπὸ τῆς ΑΓ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ·
但是，在 BD、DA 上所作的正方形之和等于在 AB 上所作的正方形（因为在 D 点的角是直角）；而在 AD、DG 上所作的正方形之和等于在 AG 上所作的正方形；因此，在 GB、BA 上所作的正方形之和，等于在 AG 上所作的正方形与由 GB、BD 所构成的矩形的两倍之和。
ὥστε μόνον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἔλαττόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΑ τετραγώνων τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
所以，单是在 AG 上所作的正方形，小于在 GB、BA 上所作的正方形之和，其相差之数等于由 GB、BD 所构成的矩形的两倍。
ἐν ἄρα τοῖς ὀξυγωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀξεῖαν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἔλαττόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ὀξεῖαν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνων τῷ περιεχομένῳ δὶς ὑπό τε μιᾶς τῶν περὶ τὴν ὀξεῖαν γωνίαν, ἐφʼ ἣν ἡ κάθετος πίπτει, καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ἐντὸς ὑπὸ τῆς καθέτου πρὸς τῇ ὀξείᾳ γωνίᾳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，在锐角三角形中，对锐角的边上所作的正方形，小于夹锐角诸边上所作正方形之和，其相差之数等于夹锐角的其中一边（即垂线所落的那一边）与垂线在锐角内侧所截出的线段所构成的矩形的两倍；这就是所要证明的。
§2.prop.14τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον τετράγωνον συστήσασθαι.
构建一个等于给定的直边图形的正方形。
ἔστω τὸ δοθὲν εὐθύγραμμον τὸ Α· δεῖ δὴ τῷ Α εὐθυγράμμῳ ἴσον τετράγωνον συστήσασθαι.
设给定的直边图形为 A；因此，需要构建一个等于直边图形 A 的正方形。
συνεστάτω γὰρ τῷ Α εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον τὸ ΒΔ·
因为，设构建一个等于直边图形 A 的矩形 BD。
εἰ μὲν οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΔ, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν. συνέσταται γὰρ τῷ Α εὐθυγράμμῳ ἴσον τετράγωνον τὸ ΒΔ·
如果 BE 等于 ED，那么所要求的事就已经完成了；因为已经构建了等于直边图形 A 的正方形 BD。
εἰ δὲ οὔ, μία τῶν ΒΕ, ΕΔ μείζων ἐστίν.
但如果不是这样，直线 BE、ED 中必有一条较大。
ἔστω μείζων ἡ ΒΕ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ κείσθω τῇ ΕΔ ἴση ἡ ΕΖ, καὶ τετμήσθω ἡ ΒΖ δίχα κατὰ τὸ Η, καὶ κέντρῳ τῷ Η, διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν ΗΒ, ΗΖ ἡμικύκλιον γεγράφθω τὸ ΒΘΖ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΔΕ ἐπὶ τὸ Θ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΘ.
ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΒΖ τέτμηται εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Η, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Ε, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΕ, ΕΖ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΗ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΖ τετραγώνῳ.
设 BE 较大，且将其延长到 Z，并使 EZ 等于 ED，且 BZ 在 H 被二等分，并以 H 为圆心，以 HB、HZ 中的一条为半径画半圆 BThZ，且将 DE 延长到 Th，并连结 HTh。 因此，既然直线 BZ 在 H 被切分成相等部分，且在 E 被切分成不相等部分，所以由 BE、EZ 所构成的矩形与在 EH 上所作的正方形之和，等于在 HZ 上所作的正方形。
ἴση δὲ ἡ ΗΖ τῇ ΗΘ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΕ, ΕΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΘ. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΘ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΘΕ, ΕΗ τετράγωνα·
而 HZ 等于 HTh；因此，由 BE、EZ 所构成的矩形与在 HE 上所作的正方形之和，等于在 HTh 上所作的正方形。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΕ, ΕΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΕ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΘΕ, ΕΗ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΗΕ τετράγωνον·
但在 ThE、EH 上所作的正方形之和等于在 HTh 上所作的正方形；因此，由 BE、EZ 所构成的矩形与在 HE 上所作的正方形之和，等于在 ThE、EH 上所作的正方形之和。
λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΒΕ, ΕΖ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΘ τετραγώνῳ.
从双方减去共同的在 HE 上所作的正方形；因此，其余由 BE、EZ 所构成的矩形等于在 ETh 上所作的正方形。
ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΕ, ΕΖ τὸ ΒΔ ἐστιν· ἴση γὰρ ἡ ΕΖ τῇ ΕΔ· τὸ ἄρα ΒΔ παραλληλόγραμμον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΘΕ τετραγώνῳ.
但是由 BE、EZ 所构成的矩形就是 BD（因为 EZ 等于 ED）；因此平行四边形 BD 等于在 ThE 上所作的正方形。
ἴσον δὲ τὸ ΒΔ τῷ Α εὐθυγράμμῳ. καὶ τὸ Α ἄρα εὐθύγραμμον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΘ ἀναγραφησομένῳ τετραγώνῳ.
而 BD 等于直边图形 A；因此直边图形 A 也等于将在 ETh 上所作的正方形。
τῷ ἄρα δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Α ἴσον τετράγωνον συνέσταται τὸ ἀπὸ τῆς ΕΘ ἀναγραφησόμενον· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
因此，已经构建了一个等于给定的直边图形 A 的正方形，即将在 ETh 上所作的正方形；这就是所要做的事。