§2.prop.13ἐν τοῖς ὀξυγωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀξεῖαν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἔλαττόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ὀξεῖαν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνων τῷ περιεχομένῳ δὶς ὑπό τε μιᾶς τῶν περὶ τὴν ὀξεῖαν γωνίαν, ἐφʼ ἣν ἡ κάθετος πίπτει, καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ἐντὸς ὑπὸ τῆς καθέτου πρὸς τῇ ὀξείᾳ γωνίᾳ.
예각삼각형에서 예각을 마주 보는 변 상에 그려진 정사각형은, 예각을 끼고 있는 변들 상에 그려진 정사각형들의 합보다, 예각을 끼고 있는 변들 중 수선이 떨어지는 쪽의 한 변과, 수선에 의해 예각의 안쪽으로 잘려 나간 선분으로 둘러싸인 직사각형의 두 배만큼 더 작다.
ἔστω ὀξυγώνιον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ὀξεῖαν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΔ·
예각삼각형 ABG가 B에서의 각을 예각으로 갖는다고 하자. 그리고 A점으로부터 BG에 수선 AD가 그어졌다고 하자.
λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον ἔλαττόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΑ τετραγώνων τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
나는 말한다, AG 상에 그려진 정사각형은 GB, BA 상에 그려진 정사각형들의 합보다 GB, BD로 둘러싸인 직사각형의 두 배만큼 더 작다.
ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΓΒ τέτμηται, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ Δ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΓ τετραγώνῳ.
왜냐하면, 직선 GB가 임의로 D점에서 잘려졌으므로, GB, BD 상에 그려진 정사각형들의 합은 GB, BD로 둘러싸인 직사각형의 두 배와 DG 상에 그려진 정사각형의 합과 같다.
κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΔΑ τετράγωνον·
공통인 DA 상에 그려진 정사각형이 더해졌다고 하자.
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ, ΔΑ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ τετραγώνοις.
그러므로 GB, BD, DA 상에 그려진 정사각형들의 합은 GB, BD로 둘러싸인 직사각형의 두 배와 AD, DG 상에 그려진 정사각형들의 합의 합과 같다.
ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΒΔ, ΔΑ ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Δ γωνίᾳ·
그런데 BD, DA 상에 그려진 정사각형들의 합에 AB 상에 그려진 정사각형이 같다(왜냐하면 D에서의 각이 직각이기 때문이다).
τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ·
또한 AD, DG 상에 그려진 정사각형들의 합에 AG 상에 그려진 정사각형이 같다.
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΑ ἴσα ἐστὶ τῷ τε ἀπὸ τῆς ΑΓ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ·
그러므로 GB, BA 상에 그려진 정사각형들의 합은 AG 상에 그려진 정사각형과 GB, BD로 둘러싸인 직사각형의 두 배의 합과 같다.
ὥστε μόνον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἔλαττόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΑ τετραγώνων τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
따라서 AG 상에 그려진 정사각형만은 GB, BA 상에 그려진 정사각형들의 합보다 GB, BD로 둘러싸인 직사각형의 두 배만큼 더 작다.
ἐν ἄρα τοῖς ὀξυγωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀξεῖαν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἔλαττόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ὀξεῖαν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνων τῷ περιεχομένῳ δὶς ὑπό τε μιᾶς τῶν περὶ τὴν ὀξεῖαν γωνίαν, ἐφʼ ἣν ἡ κάθετος πίπτει, καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ἐντὸς ὑπὸ τῆς καθέτου πρὸς τῇ ὀξείᾳ γωνίᾳ·
그러므로 예각삼각형에서 예각을 마주 보는 변 상에 그려진 정사각형은, 예각을 끼고 있는 변들 상에 그려진 정사각형들의 합보다, 예각을 끼고 있는 변들 중 수선이 떨어지는 쪽의 한 변과, 수선에 의해 예각의 안쪽으로 잘려 나간 선분으로 둘러싸인 직사각형의 두 배만큼 더 작다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.
§2.prop.14τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον τετράγωνον συστήσασθαι.
주어진 직선도형과 같은 정사각형을 작도하는 것.
ἔστω τὸ δοθὲν εὐθύγραμμον τὸ Α·
주어진 직선도형이 A라고 하자.
δεῖ δὴ τῷ Α εὐθυγράμμῳ ἴσον τετράγωνον συστήσασθαι.
그러면 직선도형 A와 같은 정사각형을 작도해야 한다.
συνεστάτω γὰρ τῷ Α εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον τὸ ΒΔ·
왜냐하면, 직선도형 A와 같은 직사각형 BD가 작도되었다고 하자.
εἰ μὲν οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΔ, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν.
만약 BE가 ED와 같다면, 명해진 일이 이루어진 셈이다.
συνέσταται γὰρ τῷ Α εὐθυγράμμῳ ἴσον τετράγωνον τὸ ΒΔ·
왜냐하면 직선도형 A와 같은 정사각형 BD가 작도되었기 때문이다.
εἰ δὲ οὔ, μία τῶν ΒΕ, ΕΔ μείζων ἐστίν.
하지만 만약 같지 않다면, BE, ED 중 하나가 더 크다.
ἔστω μείζων ἡ ΒΕ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ κείσθω τῇ ΕΔ ἴση ἡ ΕΖ, καὶ τετμήσθω ἡ ΒΖ δίχα κατὰ τὸ Η, καὶ κέντρῳ τῷ Η, διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν ΗΒ, ΗΖ ἡμικύκλιον γεγράφθω τὸ ΒΘΖ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΔΕ ἐπὶ τὸ Θ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΘ.
ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΒΖ τέτμηται εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Η, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Ε, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΕ, ΕΖ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΗ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΖ τετραγώνῳ.
BE가 더 크다고 하고, 그것이 Z까지 연장되었으며, ED와 같은 EZ가 놓였고, BZ가 H에서 이등분되었다고 하자. 그리고 H를 중심으로 하고, HB, HZ 중 하나를 반지름으로 하여 반원 BThZ가 그려졌다고 하자. 또한 DE가 Th까지 연장되었고, HTh가 연결되었다고 하자. 그러므로 직선 BZ가 H에서 같은 부분들로, E에서 같지 않은 부분들로 잘려졌으므로, BE, EZ로 둘러싸인 직사각형과 EH 상에 그려진 정사각형의 합은 HZ 상에 그려진 정사각형과 같다.
ἴση δὲ ἡ ΗΖ τῇ ΗΘ·
그런데 HZ는 HTh와 같다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΕ, ΕΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΘ. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΘ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΘΕ, ΕΗ τετράγωνα·
그러므로 BE, EZ로 둘러싸인 직사각형과 HE 상에 그려진 정사각형의 합은 HTh 상에 그려진 정사각형과 같다. 그런데 HTh 상에 그려진 정사각형에 ThE, EH 상에 그려진 정사각형들의 합이 같다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΕ, ΕΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΕ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΘΕ, ΕΗ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΗΕ τετράγωνον·
그러므로 BE, EZ로 둘러싸인 직사각형과 HE 상에 그려진 정사각형의 합은 ThE, EH 상에 그려진 정사각형들의 합과 같다. 공통인 HE 상에 그려진 정사각형을 뺏다고 하자.
λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΒΕ, ΕΖ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΘ τετραγώνῳ.
그러므로 남은 BE, EZ로 둘러싸인 직사각형은 ETh 상에 그려진 정사각형과 같다.
ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΕ, ΕΖ τὸ ΒΔ ἐστιν· ἴση γὰρ ἡ ΕΖ τῇ ΕΔ·
그런데 BE, EZ로 둘러싸인 직사각형은 BD이다(왜냐하면 EZ는 ED와 같기 때문이다).
τὸ ἄρα ΒΔ παραλληλόγραμμον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΘΕ τετραγώνῳ.
그러므로 평행사변형 BD는 ThE 상에 그려진 정사각형과 같다.
ἴσον δὲ τὸ ΒΔ τῷ Α εὐθυγράμμῳ.
그런데 BD는 직선도형 A와 같다.
καὶ τὸ Α ἄρα εὐθύγραμμον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΘ ἀναγραφησομένῳ τετραγώνῳ.
그러므로 직선도형 A도 ETh 상에 그려질 정사각형과 같다.
τῷ ἄρα δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Α ἴσον τετράγωνον συνέσταται τὸ ἀπὸ τῆς ΕΘ ἀναγραφησόμενον·
그러므로 주어진 직선도형 A와 같은 정사각형, 즉 ETh 상에 그려질 정사각형이 작도되었다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 해야 할 일이었다.