§2.prop.13ἐν τοῖς ὀξυγωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀξεῖαν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἔλαττόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ὀξεῖαν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνων τῷ περιεχομένῳ δὶς ὑπό τε μιᾶς τῶν περὶ τὴν ὀξεῖαν γωνίαν, ἐφʼ ἣν ἡ κάθετος πίπτει, καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ἐντὸς ὑπὸ τῆς καθέτου πρὸς τῇ ὀξείᾳ γωνίᾳ.
鋭角三角形において、鋭角に対する辺から作られる正方形は、鋭角をはさむ辺から作られる正方形の和よりも、鋭角をはさむ辺のうち垂線が落ちる方の1辺と、垂線によって鋭角の内側に切り取られる線分とで囲まれる長方形の2倍だけ小さい。
ἔστω ὀξυγώνιον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ὀξεῖαν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΔ·
鋭角三角形ABGが、Bにおける角を鋭角として持つとする。 そして、A点からBGの上に垂線ADが引かれたとする。
λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον ἔλαττόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΑ τετραγώνων τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
私は言う、AGから作られる正方形は、GB, BAから作られる正方形の和よりも、GB, BDで囲まれる長方形の2倍だけ小さいと。
ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΓΒ τέτμηται, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ Δ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΓ τετραγώνῳ.
なぜなら、直線GBが、任意に、Dにおいて切られているから、GB, BDから作られる正方形の和は、 GB, BDで囲まれる長方形の2倍と、DGから作られる正方形との和に等しい。
κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΔΑ τετράγωνον·
共通の、DAから作られる正方形が加えられたとする。
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ, ΔΑ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ τετραγώνοις.
したがって、GB, BD, DAから作られる正方形の和は、GB, BDで囲まれる長方形の2倍と、AD, DGから作られる正方形の和との和に等しい。
ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΒΔ, ΔΑ ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Δ γωνίᾳ·
ところが、 BD, DAから作られる正方形の和に、ABから作られる正方形は等しい（なぜなら、Dにおける角は直角だからである）。
τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ·
また、AD, DGから作られる正方形の和に、AGから作られる正方形は等しい。
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΑ ἴσα ἐστὶ τῷ τε ἀπὸ τῆς ΑΓ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ·
したがって、GB, BAから作られる正方形の和は、AGから作られる正方形と、GB, BDで囲まれる長方形の2倍との和に等しい。
ὥστε μόνον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἔλαττόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΑ τετραγώνων τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
よって、AGから作られる正方形だけが、GB, BAから作られる正方形の和よりも、 GB, BDで囲まれる長方形の2倍だけ小さい。
ἐν ἄρα τοῖς ὀξυγωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀξεῖαν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἔλαττόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ὀξεῖαν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνων τῷ περιεχομένῳ δὶς ὑπό τε μιᾶς τῶν περὶ τὴν ὀξεῖαν γωνίαν, ἐφʼ ἣν ἡ κάθετος πίπτει, καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ἐντὸς ὑπὸ τῆς καθέτου πρὸς τῇ ὀξείᾳ γωνίᾳ·
したがって、鋭角三角形において、鋭角に対する辺から作られる正方形は、鋭角をはさむ辺から作られる正方形の和よりも、鋭角をはさむ辺のうち垂線が落ちる方の1辺と、垂線によって鋭角の内側に切り取られる線分とで囲まれる長方形の2倍だけ小さい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§2.prop.14τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον τετράγωνον συστήσασθαι.
与えられた直線図形に等しい正方形を構成すること。
ἔστω τὸ δοθὲν εὐθύγραμμον τὸ Α·
与えられた直線図形がAであるとする。
δεῖ δὴ τῷ Α εὐθυγράμμῳ ἴσον τετράγωνον συστήσασθαι.
このとき、直線図形Aに等しい正方形を構成しなければならない。
συνεστάτω γὰρ τῷ Α εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον τὸ ΒΔ·
なぜなら、直線図形Aに等しい長方形 BDが構成されたとする。
εἰ μὲν οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΔ, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν.
もしBEがEDに等しいならば、命じられたことはなされたことになる。
συνέσταται γὰρ τῷ Α εὐθυγράμμῳ ἴσον τετράγωνον τὸ ΒΔ·
なぜなら、直線図形Aに等しい正方形BDが構成されているからである。
εἰ δὲ οὔ, μία τῶν ΒΕ, ΕΔ μείζων ἐστίν.
もし等しくないならば、BE, EDの一方が大きい。
ἔστω μείζων ἡ ΒΕ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ κείσθω τῇ ΕΔ ἴση ἡ ΕΖ, καὶ τετμήσθω ἡ ΒΖ δίχα κατὰ τὸ Η, καὶ κέντρῳ τῷ Η, διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν ΗΒ, ΗΖ ἡμικύκλιον γεγράφθω τὸ ΒΘΖ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΔΕ ἐπὶ τὸ Θ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΘ.
ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΒΖ τέτμηται εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Η, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Ε, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΕ, ΕΖ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΗ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΖ τετραγώνῳ.
BEが大きいとし、それがZまで延長され、EDに等しいEZが置かれたとし、BZがHにおいて二等分されたとし、Hを中心とし、HB, HZの一方を半径として半円BThZが描かれたとし、DEが Thまで延長され、HThが結ばれたとする。 したがって、直線BZは、Hにおいて等しく、Eにおいて不等に切られているから、BE, EZで囲まれる長方形とEHから作られる正方形との和は、HZから作られる正方形に等しい。
ἴση δὲ ἡ ΗΖ τῇ ΗΘ·
また、HZは HThに等しい。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΕ, ΕΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΘ. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΘ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΘΕ, ΕΗ τετράγωνα·
したがって、BE, EZで囲まれる長方形とHEから作られる正方形との和は、HThから作られる正方形に等しい。 ところが、HThから作られる正方形に、ThE, EHから作られる正方形の和は等しい。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΕ, ΕΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΕ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΘΕ, ΕΗ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΗΕ τετράγωνον·
したがって、BE, EZで囲まれる長方形とHEから作られる正方形との和は、ThE, EHから作られる正方形の和に等しい。 共通の、HEから作られる正方形が引かれたとする。
λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΒΕ, ΕΖ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΘ τετραγώνῳ.
したがって、残りの、 BE, EZで囲まれる長方形は、EThから作られる正方形に等しい。
ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΕ, ΕΖ τὸ ΒΔ ἐστιν· ἴση γὰρ ἡ ΕΖ τῇ ΕΔ·
ところが、BE, EZで囲まれる長方形はBDである（なぜなら、EZはEDに等しいからである）。
τὸ ἄρα ΒΔ παραλληλόγραμμον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΘΕ τετραγώνῳ.
したがって、平行四辺形BDは、ThEから作られる正方形に等しい。
ἴσον δὲ τὸ ΒΔ τῷ Α εὐθυγράμμῳ.
アンド、BDは直線図形Aに等しい。
καὶ τὸ Α ἄρα εὐθύγραμμον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΘ ἀναγραφησομένῳ τετραγώνῳ.
したがって、直線図形Aも、 EThから作られるはずの正方形に等しい。
τῷ ἄρα δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Α ἴσον τετράγωνον συνέσταται τὸ ἀπὸ τῆς ΕΘ ἀναγραφησόμενον·
したがって、与えられた直線図形Aに等しい正方形、すなわちEThから作られるはずの正方形が構成された。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これが作図すべきことであった。