§2.prop.10ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ δίχα, προστεθῇ δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς προσκειμένης τὰ συναμφότερα τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντος τετραγώνου.
如果一条直线被二等分，且另一条直线在它的延长线上与之连成一直线，则在整条线与所加线段之和上所作的正方形、以及在所加线段上所作的正方形，这两个正方形之和，等于在平分线段上所作的正方形、与在由平分线段及所加线段组成的单一线段上所作的正方形之和的两倍。
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ, προσκείσθω δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας ἡ ΒΔ· λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων.
因为，设某条直线 AB 在 G 点被二等分，且另一条直线 BD 在它的延长线上与之连成一直线；我说，在 AD、DB 上所作的正方形之和，等于在 AG、GD 上所作的正方形之和的两倍。
ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΕ, καὶ κείσθω ἴση ἑκατέρᾳ, τῶν ΑΓ, ΓΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΑ, ΕΒ· καὶ διὰ μὲν τοῦ Ε τῇ ΑΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ, διὰ δὲ τοῦ Δ τῇ ΓΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΔ. καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους εὐθείας τὰς ΕΓ, ΖΔ εὐθεῖά τις ἐνέπεσεν ἡ ΕΖ, αἱ ὑπὸ ΓΕΖ, ΕΖΔ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· αἱ ἄρα ὑπὸ ΖΕΒ, ΕΖΔ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν·
因为，设从 G 点引出 GE 垂直于 AB，且使它等于 AG、GB 中的任一个，又连结 EA、EB；并且通过 E 点引出 EZ 平行于 AD，通过 D 点引出 ZD 平行于 GE。 又因为在平行直线 EG、ZD 上，有一条直线 EZ 相交，所以角 GEZ、EZD 之和等于两个直角；因此，角 ZEB、EZD 小于两个直角。
αἱ δὲ ἀπʼ ἐλασσόνων ἢ δύο ὀρθῶν ἐκβαλλόμεναι συμπίπτουσιν· αἱ ἄρα ΕΒ, ΖΔ ἐκβαλλόμεναι ἐπὶ τὰ Β, Δ μέρη συμπεσοῦνται.
而从小于两个直角的角无限延长的直线必定相交；因此 EB、ZD 如果向 B、D 的方向延长，将会相交。
ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΗ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΕ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΑΓ τῇ ὑπὸ ΑΕΓ· καὶ ὀρθὴ ἡ πρὸς τῷ Γ· ἡμίσεια ἄρα ὀρθῆς ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΕΑΓ, ΑΕΓ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΕΒ, ΕΒΓ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΕΒ. καὶ ἐπεὶ ἡμίσεια ὀρθῆς ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΒΓ, ἡμίσεια ἄρα ὀρθῆς καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΗ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΗ ὀρθή· ἴση γάρ ἐστι τῇ ὑπὸ ΔΓΕ· ἐναλλὰξ γάρ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΗΒ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς· ἡ ἄρα ὑπὸ ΔΗΒ τῇ ὑπὸ ΔΒΗ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΒΔ πλευρᾷ τῇ ΗΔ ἐστιν ἴση.
设它们被延长并在 H 点相交，并连结 AH。 又因为 AG 等于 GE，所以角 EAG 也等于角 AEG；而在 G 点 the 角是直角；因此角 EAG、AEG 中的每一个都是半直角。 由于同样的原因，角 GEB、EBG 中的每一个也都是半直角；因此角 AEB 是直角。 又因为角 EBG 是半直角，所以角 DBH 也是半直角。 而且，角 BDH 也是直角；因为它等于角 DGE（因为它们是内错角）；所以其余的角 DHB 也是半直角；因此角 DHB 等于角 DBH；所以边 BD 也等于边 HD。
πάλιν, ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΕΗΖ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς, ὀρθὴ δὲ ἡ πρὸς τῷ Ζ· ἴση γάρ ἐστι τῇ ἀπεναντίον τῇ πρὸς τῷ Γ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΕΗ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΗΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΕΗ· ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΗΖ πλευρᾷ τῇ ΕΖ ἐστιν ἴση.
再者，因为角 EHZ 是半直角，而在 Z 点的角是直角（因为它等于对角 G 点的角）；所以其余的角 ZEH 也是半直角；因此角 EHZ 等于角 ZEH；所以边 HZ 也等于边 EZ。
καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ τετραγώνῳ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΕΓ, ΓΑ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΑ τετραγώνου.
又因为在 EG 上所作的正方形等于在 GA 上所作的正方形；所以在 EG、 GA 上所作的正方形之和是在 GA 上所作的正方形的两倍。
τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΕΓ, ΓΑ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΑ τετράγωνον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνου.
而在 EG、GA 上所作的正方形之和等于在 EA 上所作的正方形；因此在 EA 上所作的正方形是在 AG 上所作的正方形的两倍。
πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΕΖ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΕ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΗΖ, ΖΕ διπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΗΖ, ΖΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ. ἴση δὲ ἡ ΕΖ τῇ ΓΔ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΗ τετράγωνον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΗ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων.
再者，因为 ZH 等于 EZ，在 ZH 上所作的正方形也等于在 ZE 上所作的正方形；因此在 HZ、ZE 上所作的正方形之和是在 EZ 上所作的正方形的两倍。 而在 HZ、ZE 上所作的正方形之和等于在 EH 上所作的正方形；因此在 EH 上所作的正方形是在 EZ 上所作的正方形的两倍。 而 EZ 等于 GD；因此在 EH 上所作的正方形是在 GD 上所作的正方形的两倍。 此外，在 EA 上所作的正方形也已被证明是在 AG 上所作的正方形的两倍；因此在 AE、EH 上所作的正方形之和是在 AG、GD 上所作的正方形之和的两倍。
τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΗ τετραγώνοις ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τετράγωνον· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΗ διπλάσιόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΗ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΗ διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ.
而在 AE、EH 上所作的正方形之和等于在 AH 上所作的正方形；因此在 AH 上所作的正方形是在 AG、GD 上所作的正方形之和的两倍。 而在 AD、DH 上所作的正方形之和等于在 AH 上所作的正方形；因此在 AD、DH 上所作的正方形之和是在 AG、GD 上所作的正方形之和的两倍。
ἴση δὲ ἡ ΔΗ τῇ ΔΒ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων.
而 DH 等于 DB；因此在 AD、DB 上所作的正方形之和是在 AG、GD 上所作的正方形之和的两倍。
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ δίχα, προστεθῇ δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς προσκειμένης τὰ συναμφότερα τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντος τετραγώνου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，如果一条直线被二等分，且另一条直线在它的延长线上与之连成一直线，则在整条线与所加线段之和上所作的正方形、以及在所加线段上所作的正方形，这两个正方形之和，等于在平分线段上所作的正方形、与在由平分线段及所加线段组成的单一线段上所作的正方形之和的两倍；这就是所要证明的。