§2.prop.10ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ δίχα, προστεθῇ δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς προσκειμένης τὰ συναμφότερα τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντος τετραγώνου.
もし直線が二等分され、かつある直線がそれに一直線上に付け加えられるならば、全体の線分と付け加えられた線分とを合わせた線分から作られる正方形と、付け加えられた線分から作られる正方形との和は、半分の線分から作られる正方形と、半分と付け加えられた線分とを合わせた単一の線分から作られる正方形との和の2倍である。
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ, προσκείσθω δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας ἡ ΒΔ·
なぜなら、ある直線ABがGにおいて二等分され、かつある直線BDがそれに一直線上に付け加えられているとする。
λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων.
私は言う、AD, DBから作られる正方形の和は、AG, GDから作られる正方形の和の2倍であると。
ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΕ, καὶ κείσθω ἴση ἑκατέρᾳ, τῶν ΑΓ, ΓΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΑ, ΕΒ·
なぜなら、G点からABに対して直角にGEが引かれ、それはAG, GBのそれぞれに等しく置かれ、EA, EBが結ばれたとする。
καὶ διὰ μὲν τοῦ Ε τῇ ΑΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ, διὰ δὲ τοῦ Δ τῇ ΓΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΔ. καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους εὐθείας τὰς ΕΓ, ΖΔ εὐθεῖά τις ἐνέπεσεν ἡ ΕΖ, αἱ ὑπὸ ΓΕΖ, ΕΖΔ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
そして、Eを通ってADに平行にEZが引かれ、Dを通ってGEに平行にZDが引かれたとする。 そして、平行な直線EG, ZDに、ある直線EZが交わっているから、角GEZ, EZDの和は2直角に等しい。
αἱ ἄρα ὑπὸ ΖΕΒ, ΕΖΔ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν·
したがって、角ZEB, EZDは2直角より小さい。
αἱ δὲ ἀπʼ ἐλασσόνων ἢ δύο ὀρθῶν ἐκβαλλόμεναι συμπίπτουσιν·
そして、2直角より小さい角から延長される直線は交わる。
αἱ ἄρα ΕΒ, ΖΔ ἐκβαλλόμεναι ἐπὶ τὰ Β, Δ μέρη συμπεσοῦνται.
したがって、EB, ZDはB, Dの方向に延長されると交わるであろう。
ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΗ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΕ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΑΓ τῇ ὑπὸ ΑΕΓ·
それらが延長され、Hにおいて交わったとし、AHが結ばれたとする。 そして、AGはGEに等しいから、角EAGも角AEGに等しい。
καὶ ὀρθὴ ἡ πρὸς τῷ Γ·
また、Gにおける角は直角である。
ἡμίσεια ἄρα ὀρθῆς ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΕΑΓ, ΑΕΓ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΕΒ, ΕΒΓ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς·
したがって、角EAG, AEGのそれぞれは半直角である。 まさに同じ理由で、角GEB, EBGのそれぞれも半直角である。
ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΕΒ. καὶ ἐπεὶ ἡμίσεια ὀρθῆς ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΒΓ, ἡμίσεια ἄρα ὀρθῆς καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΗ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΗ ὀρθή· ἴση γάρ ἐστι τῇ ὑπὸ ΔΓΕ·
したがって、角AEBは直角である。 そして、角EBGは半直角だから、角DBHも半直角である。 また、角BDHも直角である（なぜなら、それは角DGEに等しいから。
ἐναλλὰξ γάρ·
錯角であるから）。
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΗΒ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς·
したがって、残りの角DHBは半直角である。
ἡ ἄρα ὑπὸ ΔΗΒ τῇ ὑπὸ ΔΒΗ ἐστιν ἴση·
したがって、角DHBは角DBHに等しい。
ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΒΔ πλευρᾷ τῇ ΗΔ ἐστιν ἴση.
よって、辺BDも辺HDに等しい。
πάλιν, ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΕΗΖ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς, ὀρθὴ δὲ ἡ πρὸς τῷ Ζ· ἴση γάρ ἐστι τῇ ἀπεναντίον τῇ πρὸς τῷ Γ·
さらに、角EHZは半直角であり、Zにおける角は直角である（なぜなら、対角であるGにおける角に等しいから）。
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΕΗ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς·
したがって、残りの角ZEHは半直角である。
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΗΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΕΗ·
したがって、角EHZは角ZEHに等しい。
ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΗΖ πλευρᾷ τῇ ΕΖ ἐστιν ἴση.
よって、辺HZも辺EZに等しい。
καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ τετραγώνῳ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΕΓ, ΓΑ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΑ τετραγώνου.
そして、EGから作られる正方形はGAから作られる正方形に等しいから、EG, GAから作られる正方形の和は、GAから作られる正方形の2倍である。
τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΕΓ, ΓΑ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ·
そして、EG, GAから作られる正方形の和に、EAから作られる正方形は等しい。
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΑ τετράγωνον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνου.
したがって、EAから作られる正方形は、AGから作られる正方形の2倍である。
πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΕΖ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΕ·
さらに、ZHはEZに等しいから、ZHから作られる正方形もZEから作られる正方形に等しい。
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΗΖ, ΖΕ διπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΗΖ, ΖΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ·
したがって、 HZ, ZEから作られる正方形の和は、EZから作られる正方形の2倍である。 そして、HZ, ZEから作られる正方形の和に、EHから作られる正方形は等しい。
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ. ἴση δὲ ἡ ΕΖ τῇ ΓΔ·
したがって、EHから作られる正方形は、EZから作られる正方形の2倍である。 そして、EZはGDに等しい。
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΗ τετράγωνον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ·
したがって、EHから作られる正方形は、GDから作られる正方形の2倍である。 また、 EAから作られる正方形もAGから作られる正方形の2倍であると示された。
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΗ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων.
したがって、AE, EHから作られる正方形の和は、AG, GDから作られる正方形の和の2倍である。
τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΗ τετραγώνοις ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τετράγωνον·
そして、AE, EHから作られる正方形の和に、AHから作られる正方形は等しい。
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΗ διπλάσιόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΗ·
したがって、AHから作られる正方形は、AG, GDから作られる正方形の和の2倍である。 そして、AHから作られる正方形に、 AD, DHから作られる正方形の和は等しい。
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΗ διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ.
したがって、AD, DHから作られる正方形の和は、AG, GDから作られる正方形の和の2倍である。
ἴση δὲ ἡ ΔΗ τῇ ΔΒ·
そして、DHはDBに等しい。
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων.
したがって、AD, DBから作られる正方形の和は、AG, GDから作られる正方形の和の2倍である。
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ δίχα, προστεθῇ δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς προσκειμένης τὰ συναμφότερα τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντος τετραγώνου·
したがって、もし直線が二等分され、かつある直線がそれに一直線上に付け加えられるならば、全体の線分と付け加えられた線分とを合わせた線分から作られる正方形と、付け加えられた線分から作られる正方形との和は、半分の線分から作られる正方形と、半分と付け加えられた線分とを合わせた単一の線分から作られる正方形との和の2倍である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。