§2.prop.10ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ δίχα, προστεθῇ δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς προσκειμένης τὰ συναμφότερα τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντος τετραγώνου.
만약 어떤 직선이 이등분되고, 다른 어떤 직선이 그것에 일직선상으로 더해진다면, 더해진 선분을 합한 전체선분 상에 그려진 정사각형과 그 더해진 선분 상에 그려진 정사각형의 합은, 그 절반의 선분 상에 그려진 정사각형과, 그 절반의 선분 및 더해진 선분을 합하여 하나의 선분으로 해서 그린 정사각형의 합의 두 배이다.
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ, προσκείσθω δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας ἡ ΒΔ·
왜냐하면 어떤 직선 AB가 G점에서는 이등분되고, 다른 어떤 직선 BD가 그것에 일직선상으로 더해졌다고 하자.
λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων.
나는 말한다, AD, DB 상에 그려진 정사각형들의 합은 AG, GD 상에 그려진 정사각형들의 합의 두 배이다.
ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΕ, καὶ κείσθω ἴση ἑκατέρᾳ, τῶν ΑΓ, ΓΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΑ, ΕΒ·
왜냐하면 G점으로부터 AB에 직각으로 GE가 그어지고, 그것은 AG, GB 각각과 같게 놓이며, EA, EB가 연결되었다고 하자.
καὶ διὰ μὲν τοῦ Ε τῇ ΑΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ, διὰ δὲ τοῦ Δ τῇ ΓΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΔ. καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους εὐθείας τὰς ΕΓ, ΖΔ εὐθεῖά τις ἐνέπεσεν ἡ ΕΖ, αἱ ὑπὸ ΓΕΖ, ΕΖΔ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
그리고 E점을 지나 AD에 평행하게 EZ가 그어지고, D점을 지나 GE에 평행하게 ZD가 그어졌다고 하자. 그리고 평행한 직선 EG, ZD에 어떤 직선 EZ가 만났으므로, 각 GEZ, EZD의 합은 두 직각과 같다.
αἱ ἄρα ὑπὸ ΖΕΒ, ΕΖΔ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν·
그러므로 각 ZEB, EZD는 두 직각보다 작다.
αἱ δὲ ἀπʼ ἐλασσόνων ἢ δύο ὀρθῶν ἐκβαλλόμεναι συμπίπτουσιν·
그런데 두 직각보다 작은 각으로부터 연장되는 직선들은 서로 만난다.
αἱ ἄρα ΕΒ, ΖΔ ἐκβαλλόμεναι ἐπὶ τὰ Β, Δ μέρη συμπεσοῦνται.
그러므로 EB, ZD는 B, D 방향으로 연장되면 만날 것이다.
ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΗ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΕ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΑΓ τῇ ὑπὸ ΑΕΓ·
그것들을 연장하여 H점에서 만나게 하고, AH가 연결되었다고 하자. 그리고 AG가 GE와 같으므로, 각 EAG 또한 각 AEG와 같다.
καὶ ὀρθὴ ἡ πρὸς τῷ Γ·
그리고 G에서의 각이 직각이다.
ἡμίσεια ἄρα ὀρθῆς ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΕΑΓ, ΑΕΓ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΕΒ, ΕΒΓ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς·
그러므로 각 EAG, AEG 각각은 반직각이다. 바로 같은 이유로 각 GEB, EBG 각각 또한 반직각이다.
ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΕΒ. καὶ ἐπεὶ ἡμίσεια ὀρθῆς ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΒΓ, ἡμίσεια ἄρα ὀρθῆς καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΗ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΗ ὀρθή·
그러므로 각 AEB는 직각이다. 그리고 각 EBG가 반직각이므로, 각 DBH 또한 반직각이다. 또한 각 BDH도 직각이다.
ἴση γάρ ἐστι τῇ ὑπὸ ΔΓΕ· ἐναλλὰξ γάρ·
왜냐하면 그것은 각 DGE와 같기 때문이다(엇각이기 때문이다).
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΗΒ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς·
그러므로 남은 각 DHB는 반직각이다.
ἡ ἄρα ὑπὸ ΔΗΒ τῇ ὑπὸ ΔΒΗ ἐστιν ἴση·
그러므로 각 DHB는 각 DBH와 같다.
ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΒΔ πλευρᾷ τῇ ΗΔ ἐστιν ἴση.
따라서 변 BD 또한 변 HD와 같다.
πάλιν, ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΕΗΖ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς, ὀρθὴ δὲ ἡ πρὸς τῷ Ζ· ἴση γάρ ἐστι τῇ ἀπεναντίον τῇ πρὸς τῷ Γ·
다시, 각 EHZ는 반직각이고, Z에서의 각은 직각이므로(왜냐하면 마주 보는 각인 G에서의 각과 같기 때문이다), 남은 각 ZEH 또한 반직각이다.
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΕΗ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΗΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΕΗ·
그러므로 각 EHZ는 각 ZEH와 같다.
ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΗΖ πλευρᾷ τῇ ΕΖ ἐστιν ἴση.
따라서 변 HZ 또한 변 EZ와 같다.
καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ τετραγώνῳ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΕΓ, ΓΑ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΑ τετραγώνου.
그리고 EG 상에 그려진 정사각형이 GA 상에 그려진 정사각형과 같으므로, EG, GA 상에 그려진 정사각형들의 합은 GA 상에 그려진 정사각형의 두 배이다.
τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΕΓ, ΓΑ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ·
그런데 EG, GA 상에 그려진 정사각형들의 합은 EA 상에 그려진 정사각형과 같다.
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΑ τετράγωνον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνου.
그러므로 EA 상에 그려진 정사각형은 AG 상에 그려진 정사각형의 두 배이다.
πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΕΖ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΕ·
다시, ZH가 EZ와 같으므로, ZH 상에 그려진 정사각형 또한 ZE 상에 그려진 정사각형과 같다.
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΗΖ, ΖΕ διπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΗΖ, ΖΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ·
그러므로 HZ, ZE 상에 그려진 정사각형들의 합은 EZ 상에 그려진 정사각형의 두 배이다. 그런데 HZ, ZE 상에 그려진 정사각형들의 합은 EH 상에 그려진 정사각형과 같다.
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ. ἴση δὲ ἡ ΕΖ τῇ ΓΔ·
그러므로 EH 상에 그려진 정사각형은 EZ 상에 그려진 정사각형의 두 배이다. 그리고 EZ는 GD와 같다.
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΗ τετράγωνον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ·
그러므로 EH 상에 그려진 정사각형은 GD 상에 그려진 정사각형의 두 배이다. 또한 EA 상에 그려진 정사각형 역시 AG 상에 그려진 정사각형의 두 배라는 것이 증명되었다.
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΗ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων.
그러므로 AE, EH 상에 그려진 정사각형들의 합은 AG, GD 상에 그려진 정사각형들의 합의 두 배이다.
τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΗ τετραγώνοις ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τετράγωνον·
그런데 AE, EH 상에 그려진 정사각형들의 합은 AH 상에 그려진 정사각형과 같다.
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΗ διπλάσιόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΗ·
그러므로 AH 상에 그려진 정사각형은 AG, GD 상에 그려진 정사각형들의 합의 두 배이다.
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΗ διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ.
그런데 AH 상에 그려진 정사각형에 AD, DH 상에 그려진 정사각형들의 합이 같다. 그러므로 AD, DH 상에 그려진 정사각형들의 합은 AG, GD 상에 그려진 정사각형들의 합의 두 배이다.
ἴση δὲ ἡ ΔΗ τῇ ΔΒ·
그리고 DH는 DB와 같다.
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων.
그러므로 AD, DB 상에 그려진 정사각형들의 합은 AG, GD 상에 그려진 정사각형들의 합의 두 배이다.
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ δίχα, προστεθῇ δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς προσκειμένης τὰ συναμφότερα τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντος τετραγώνου·
그러므로 만약 어떤 직선이 이등분되고, 다른 어떤 직선이 그것에 일직선상으로 더해진다면, 더해진 선분을 합한 전체선분 상에 그려진 정사각형과 그 더해진 선분 상에 그려진 정사각형의 합은, 그 절반의 선분 상에 그려진 정사각형과, 그 절반의 선분 및 더해진 선분을 합하여 하나의 선분으로 해서 그린 정사각형의 합의 두 배이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.