§2.prop.9ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ εἰς ἴσα καὶ ἄνισα, τὰ ἀπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημάτων τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετραγώνου.
如果一条直线被分割为相等和不相等的两部分，则在整条线的不相等分段上所作的正方形之和，等于在平分线段上所作的正方形与在两个分割点之间的线段上所作的正方形之和的两倍。
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Γ, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Δ· λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων.
因为，设某条直线 AB 在 C 点被等分，而在 D 点被不等分；我说，在 AD、DB 上所作的正方形之和，等于在 AC、CD 上所作的正方形之和的两倍。
ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΕ, καὶ κείσθω ἴση ἑκατέρᾳ τῶν ΑΓ, ΓΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΑ, ΕΒ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Δ τῇ ΕΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΖ, διὰ δὲ τοῦ Ζ τῇ ΑΒ ἡ ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΕ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΕΓ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Γ, λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΕΑΓ, ΑΕΓ μιᾷ ὀρθῇ ἴσαι εἰσίν· καί εἰσιν ἴσαι· ἡμίσεια ἄρα ὀρθῆς ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΕΑ, ΓΑΕ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΕΒ, ΕΒΓ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΒ ὀρθή ἐστιν.
因为，设从 C 点引出 GE 垂直于 AB，且使它等于 AC、GB 中的任一个，又连结 EA、EB，并且通过 D 点引出 DZ 平行于 EG，通过 Z 点引出 ZH 平行于 AB，并连结 AZ。 又因为 AG 等于 GE，所以角 EAG 也等于角 AEG。 又因为在 G 点的角是直角，所以其余的角 EAG、AEG 之和等于一个直角；而且它们相等；因此角 GEA、GAE 中的每一个都是半直角。 由于同样的原因，角 GEB、EBG 中的每一个也都是半直角；因此整个角 AEB 是直角。
καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΗΕΖ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς, ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΕΗΖ· ἴση γάρ ἐστι τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΕΓΒ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΖΗ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΕΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΖΗ· ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ ἐστιν ἴση.
又因为角 HEZ 是半直角，而角 EHZ 是直角（因为它等于内对角 EGB）；所以其余的角 EZH 也是半直角；因此角 HEZ 等于角 EZH；所以边 EH 也等于 HZ。
πάλιν ἐπεὶ ἡ πρὸς τῷ β γωνία ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς, ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΖΔΒ· ἴση γὰρ πάλιν ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΕΓΒ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΖΔ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς· ἴση ἄρα ἡ πρὸς τῷ Β γωνία τῇ ὑπὸ ΔΖΒ· ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΖΔ πλευρᾷ τῇ ΔΒ ἐστιν ἴση.
再者，因为在 B 点的角是半直角，而角 ZDB 是直角（因为它同样等于内对角 EGB）；所以其余的角 BZD 也是半直角；因此在 B 点的角等于角 DZB；所以边 ZD 也等于边 DB。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΕ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ ΑΓ τῷ ἀπὸ ΓΕ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΕ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ ΑΓ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ τετράγωνον· ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ γωνία· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΑ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ, ἴσον καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΖ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΖ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΖ τετραγώνου.
又因为 AG 等于 GE，所以在 AG 上所作的正方形也等于在 GE 上所作的正方形；因此在 AG、GE 上所作的正方形之和是在 AG 上所作的正方形的两倍。 而在 AG、GE 上所作的正方形之和等于在 EA 上所作的正方形（因为角 AGE 是直角）；因此在 EA 上所作的正方形是在 AG 上所作的正方形的两倍。 再者，因为 EH 等于 HZ，在 EH 上所作的正方形也等于在 HZ 上所作的正方形；因此在 EH、HZ 上所作的正方形之和是在 HZ 上所作的正方形的两倍。
τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΖ τετραγώνοις ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετράγωνον· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΖ τετράγωνον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΖ. ἴση δὲ ἡ ΗΖ τῇ ΓΔ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΖ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΖ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων.
而在 EH、HZ 上所作的正方形之和等于在 EZ 上所作的正方形；因此在 EZ 上所作的正方形是在 HZ 上所作的正方形的两倍。 而 HZ 等于 GD；因此在 EZ 上所作的正方形是在 GD 上所作的正方形的两倍。 又在 EA 上所作的正方形也是在 AG 上所作的正方形的两倍；因此在 AE、EZ 上所作的正方形之和是在 AC、CD 上所作的正方形之和的两倍。
τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΖ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ τετράγωνον· ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΕΖ γωνία· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΖ τετράγωνον διπλάσιόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΖ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΖ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Δ γωνία· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΖ διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων.
而在 AE、EZ 上所作的正方形之和等于在 AZ 上所作的正方形（因为角 AEZ 是直角）；因此在 AZ 上所作的正方形是在 AC、CD 上所作的正方形之和的两倍。 而在 AD、DZ 上所作的正方形之和等于在 AZ 上所作的正方形（因为在 D 点的角是直角）；因此在 AD、DZ 上所作的正方形之和是在 AC、CD 上所作的正方形之和的两倍。
ἴση δὲ ἡ ΔΖ τῇ ΔΒ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων.
而 DZ 等于 DB；因此在 AD、DB 上所作的正方形之和是在 AC、CD 上所作的正方形之和的两倍。
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ εἰς ἴσα καὶ ἄνισα, τὰ ἀπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημάτων τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετραγώνου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，如果一条直线被分割为相等和不相等的两部分，则在整条线的不相等分段上所作的正方形之和，等于在平分线段上所作的正方形与在两个分割点之间的线段上所作的正方形之和的两倍；这就是所要证明的。