§12.prop.4#2καὶ ὁμοίως, ἐὰν διαιρεθῶσιν αἱ ΟΜΝΗ, ΣΤΥΘ πυραμίδες εἴς τε δύο πρίσματα καὶ δύο πυραμίδας, ἔσται ὡς ἡ ΟΜΝ βάσις πρὸς τὴν ΣΤΥ βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ ΟΜ ΝΗ πυραμίδι δύο πρίσματα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΣΤΥΘ πυραμίδι δύο πρίσματα.
同样地，如果将棱锥OMNH、STYQ分割成两个棱柱和两个棱锥，那么，正如底面OMN之于底面STY，在棱锥OM NH中的两个棱柱也之于在棱锥STYQ中的两个棱柱。
ἀλλʼ ὡς ἡ ΟΜΝ βάσις πρὸς τὴν ΣΤΥ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν· ἴσον γὰρ ἑκάτερον τῶν ΟΜΝ, ΣΤΥ τριγώνων ἑκατέρῳ τῶν ΛΞΓ, ΡΦΖ. καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὰ τέσσαρα πρίσματα πρὸς τὰ τέσσαρα πρίσματα.
但是，正如底面OMN之于底面STY，底面ABG也之于底面DEZ；因为三角形OMN、STY中的每一个都分别等于三角形LXG、RFZ中的每一个。 因此，正如底面ABG之于底面DEZ，四个棱柱也之于四个棱柱。
ὁμοίως δὲ κἂν τὰς ὑπολειπομένας πυραμίδας διέλωμεν εἴς τε δύο πυραμίδας καὶ εἰς δύο πρίσματα, ἔσται ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ ΑΒ ΓΗ πυραμίδι πρίσματα πάντα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα πάντα ἰσοπληθῆ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
同样地，即使我们把剩下的棱锥也分割成两个棱锥和两个棱柱，正如底面ABG之于底面DEZ，在棱锥ABGH中的所有棱柱也之于在棱锥DEZQ 中的所有同数的棱柱；这就是所要证明的。
λῆμμα
ὅτι δέ ἐστιν ὡς τὸ ΛΞΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΡΦΖ τρίγωνον, οὕτως τὸ πρίσμα, οὗ βάσις τὸ ΛΞΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΟΜΝ, πρὸς τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΡΦΖ, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΣΤΥ, οὕτω δεικτέον.
引理关于：正如三角形LXG之于三角形RFZ，以三角形LXG为底面且以OMN为其对面的棱柱，之于以 RFZ为底面且以STY为其对面的棱柱，必须如下予以证明。
ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς νενοήσθωσαν ἀπὸ τῶν Η, Θ κάθετοι ἐπὶ τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ ἐπίπεδα, ἴσαι δηλαδὴ τυγχάνουσαι διὰ τὸ ἰσοϋψεῖς ὑποκεῖσθαι τὰς πυραμίδας.
因为在同一图形上，设想从点H、Q向平面ABG、DEZ引垂线，由于设定棱锥是等高的，这些垂线显然相等。
καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι ἥ τε ΗΓ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Η κάθετος ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν ΑΒΓ, ΟΜΝ τέμνονται, εἰς τοὺς αὐτοὺς λόγους τμηθήσονται.
又因为两条直线，即HG以及从H引的垂线，被平行平面ABG、OMN所截，它们将被截成相同的比。
καὶ τέτμηται ἡ ΗΓ δίχα ὑπὸ τοῦ ΟΜΝ ἐπιπέδου κατὰ τὸ Ν· καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἄρα κάθετος ἐπὶ τὸ ΑΒΓ ἐπίπεδον δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τοῦ ΟΜΝ ἐπιπέδου.
而HG已被平面OMN在点N处平分；因此，从H向平面ABG引的垂线也将会被平面OMN平分。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Θ κάθετος ἐπὶ τὸ ΔΕΖ ἐπίπεδον δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τοῦ ΣΤΥ ἐπιπέδου.
由于同样的原因，从Q向平面DEZ引的垂线也将会被平面STY平分。
καί εἰσιν ἴσαι αἱ ἀπὸ τῶν Η, Θ κάθετοι ἐπὶ τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ ἐπίπεδα· ἴσαι ἄρα καὶ αἱ ἀπὸ τῶν ΟΜΝ, ΣΤΥ τριγώνων ἐπὶ τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ κάθετοι.
且从点H、Q向平面ABG、DEZ引的垂线相等；因此，从三角形OMN、STY向平面ABG、DEZ引的垂线也相等。
ἰσοϋψῆ ἄρα τὰ πρίσματα, ὧν βάσεις μέν εἰσι τὰ ΛΞΓ, ΡΦΖ τρίγωνα, ἀπεναντίον δὲ τὰ ΟΜΝ, ΣΤΥ. ὥστε καὶ τὰ στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ἀπὸ τῶν εἰρημένων πρισμάτων ἀναγραφόμενα ἰσοϋψῆ καὶ πρὸς ἄλληλα ὡς αἱ βάσεις· καὶ τὰ ἡμίση ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΛΞΓ βάσις πρὸς τὴν ΡΦΖ βάσιν, οὕτως τὰ εἰρημένα πρίσματα πρὸς ἄλληλα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
所以，以三角形LXG、RFZ为底面，以OMN、STY为其对面的棱柱是等高的。 从而，从上述棱柱描绘出的固体平行六面体也是等高的，并且它们之间的比等于它们底面的比；因此它们的一半也是，正如底面LXG之于底面RFZ，上述棱柱也彼此如此；这就是所要证明的。