§11.prop.9αἱ τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι καὶ μὴ οὖσαι αὐτῇ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι.
与同一条直线平行、且不与它在同一个平面内的直线，它们彼此也平行。
ἔστω γὰρ ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΓΔ τῇ ΕΖ παράλληλος μὴ οὖσαι αὐτῇ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ· λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.
εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΕΖ τυχὸν σημεῖον τὸ Η, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ τῇ ΕΖ ἐν μὲν τῷ διὰ τῶν ΕΖ, ΑΒ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΗΘ, ἐν δὲ τῷ διὰ τῶν ΖΕ, ΓΔ τῇ ΕΖ πάλιν πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΗΚ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΖ πρὸς ἑκατέραν τῶν ΗΘ, ΗΚ ὀρθή ἐστιν, ἡ ΕΖ ἄρα καὶ τῷ διὰ τῶν ΗΘ, ΗΚ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
因为，设 ΑΒ、ΓΔ 中的每一条都平行于 ΕΖ，且不与它在同一个平面内；我说，ΑΒ 平行于 ΓΔ。 因为，设在 ΕΖ 上任意取一个点 Η，且从它出发，在通过 ΕΖ、ΑΒ 的平面内引出垂直于 ΕΖ 的 ΗΘ，而在通过 ΖΕ、ΓΔ 的平面内，再次引出垂直于 ΕΖ 的 ΗΚ。 又因为 ΕΖ 垂直于 ΗΘ、ΗΚ 中的每一条，所以 ΕΖ 也与通过 ΗΘ、ΗΚ 的平面垂直。
καί ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ ΑΒ παράλληλος· καὶ ἡ ΑΒ ἄρα τῷ διὰ τῶν ΘΗΚ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
而 ΕΖ 平行于 ΑΒ；所以 ΑΒ 也与通过 ΘΗΚ 的平面垂直。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΓΔ τῷ διὰ τῶν ΘΗΚ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν· ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ τῷ διὰ τῶν ΘΗΚ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
由于同样的原因，ΓΔ 也与通过 ΘΗΚ 的平面垂直；所以 ΑΒ、ΓΔ 中的每一条都与通过 ΘΗΚ 的平面垂直。
ἐὰν δὲ δύο εὐθεῖαι τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὦσιν, παράλληλοί εἰσιν αἱ εὐθεῖαι· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
如果两条直线与同一个平面垂直，则这两条直线平行；所以 ΑΒ 平行于 ΓΔ；这就是所要证明的。
§11.prop.10ἐὰν δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων ὦσι μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἴσας γωνίας περιέξουσιν.
如果两条相交直线平行于另外两条相交直线，且不在同一个平面内，则它们将夹等角。
δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας τὰς ΔΕ, ΕΖ ἁπτομένας ἀλλήλων ἔστωσαν μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ· λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ.
Ἀπειλήφθωσαν γὰρ αἱ ΒΑ, ΒΓ, ΕΔ, ΕΖ ἴσαι ἀλλήλαις, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΓΖ, ΒΕ, ΑΓ, ΔΖ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΑ τῇ ΕΔ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος, καὶ ἡ ΑΔ ἄρα τῇ ΒΕ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος.
因为，设两条相交直线 ΑΒ、ΒΓ 平行于两条相交直线 ΔΕ、ΕΖ，且不在同一个平面内；我说，角 ΑΒΓ 等于角 ΔΕΖ。 因为，设 ΒΑ、ΒΓ、ΕΔ、ΕΖ 彼此截取相等，且连结 ΑΔ、ΓΖ、ΒΕ、ΑΓ、ΔΖ。 又因为 ΒΑ 等于且平行于 ΕΔ，所以 ΑΔ 也等于且平行于 ΒΕ。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΓΖ τῇ ΒΕ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος· ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΔ, ΓΖ τῇ ΒΕ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος.
由于同样的原因，ΓΖ 也等于且平行于 ΒΕ；所以 ΑΔ、ΓΖ 中的每一条都等于且平行于 ΒΕ。
αἱ δὲ τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι καὶ μὴ οὖσαι αὐτῇ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΓΖ καὶ ἴση.
而与同一条直线平行、且不与它在同一个平面内的直线，它们彼此也平行；所以 ΑΔ 平行于 ΓΖ 且相等。
καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς αἱ ΑΓ, ΔΖ· καὶ ἡ ΑΓ ἄρα τῇ ΔΖ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος.
而 ΑΓ、ΔΖ 连结它们；所以 ΑΓ 也等于且平行于 ΔΖ。
καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΑΒ, ΒΓ δυσὶ ταῖς ΔΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσίν, καὶ βάσις ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΔΖ ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση.
又因为两条边 ΑΒ、ΒΓ 分别等于两条边 ΔΕ、ΕΖ，且底边 ΑΓ 等于底边 ΔΖ，所以角 ΑΒΓ 等于角 ΔΕΖ。
ἐὰν ἄρα δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων ὦσι μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἴσας γωνίας περιέξουσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，如果两条相交直线平行于另外两条相交直线，且不在同一个平面内，则它们将夹等角；这就是所要证明的。