§11.prop.9αἱ τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι καὶ μὴ οὖσαι αὐτῇ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι.
같은 한 직선과 평행하고 그것과 같은 평면 위에 있지 않은 직선들은 서로도 평행하다.
ἔστω γὰρ ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΓΔ τῇ ΕΖ παράλληλος μὴ οὖσαι αὐτῇ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ·
왜냐하면 ΑΒ, ΓΔ 각각이 ΕΖ와 평행하고 그것과 같은 평면 위에 있지 않다고 하자.
λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.
εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΕΖ τυχὸν σημεῖον τὸ Η, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ τῇ ΕΖ ἐν μὲν τῷ διὰ τῶν ΕΖ, ΑΒ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΗΘ, ἐν δὲ τῷ διὰ τῶν ΖΕ, ΓΔ τῇ ΕΖ πάλιν πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΗΚ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΖ πρὸς ἑκατέραν τῶν ΗΘ, ΗΚ ὀρθή ἐστιν, ἡ ΕΖ ἄρα καὶ τῷ διὰ τῶν ΗΘ, ΗΚ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
나는 ΑΒ가 ΓΔ와 평행하다고 주장한다. 왜냐하면 ΕΖ 위에 임의의 점 Η가 취해졌다고 하고, 그 점으로부터 ΕΖ에 대해, ΕΖ, ΑΒ를 지나는 평면 안에서 수직이 되도록 ΗΘ가 그어지고, ΖΕ, ΓΔ를 지나는 평면 안에서 다시 ΕΖ에 수직이 되도록 ΗΚ가 그어졌다고 하자. 그리고 ΕΖ는 ΗΘ, ΗΚ 각각과 수직이므로, ΕΖ는 ΗΘ, HK를 지나는 평면과도 수직이다.
καί ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ ΑΒ παράλληλος·
그리고 ΕΖ는 ΑΒ와 평행하다.
καὶ ἡ ΑΒ ἄρα τῷ διὰ τῶν ΘΗΚ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
따라서 ΑΒ도 ΘΗΚ를 지나는 평면과 수직이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΓΔ τῷ διὰ τῶν ΘΗΚ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν·
같은 이유로 ΓΔ도 ΘΗΚ를 지나는 평면과 수직이다.
ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ τῷ διὰ τῶν ΘΗΚ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
따라서 ΑΒ, ΓΔ 각각은 ΘΗΚ를 지나는 평면과 수직이다.
ἐὰν δὲ δύο εὐθεῖαι τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὦσιν, παράλληλοί εἰσιν αἱ εὐθεῖαι·
그런데 만약 두 직선이 같은 평면과 수직이면 그 직선들은 평행하다.
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ·
따라서 ΑΒ는 ΓΔ와 평행하다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.
§11.prop.10ἐὰν δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων ὦσι μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἴσας γωνίας περιέξουσιν.
만약 서로 만나는 두 직선이 서로 만나는 다른 두 직선과 평행하고 같은 평면 위에 있지 않다면, 그것들은 같은 각을 이룰 것이다.
δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας τὰς ΔΕ, ΕΖ ἁπτομένας ἀλλήλων ἔστωσαν μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ·
왜냐하면 서로 만나는 두 직선 ΑΒ, ΒΓ가 서로 만나는 다른 두 직선 ΔΕ, ΕΖ와 평행하고 같은 평면 위에 있지 않다고 하자.
λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ.
Ἀπειλήφθωσαν γὰρ αἱ ΒΑ, ΒΓ, ΕΔ, ΕΖ ἴσαι ἀλλήλαις, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΓΖ, ΒΕ, ΑΓ, ΔΖ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΑ τῇ ΕΔ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος, καὶ ἡ ΑΔ ἄρα τῇ ΒΕ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος.
나는 각 ΑΒΓ가 각 ΔΕΖ와 같다고 주장한다. 왜냐하면 ΒΑ, ΒΓ, ΕΔ, ΕΖ가 서로 같게 잘려나갔다고 하고, ΑΔ, ΓΖ, ΒΕ, ΑΓ, ΔΖ가 연결되었다고 하자. 그리고 ΒΑ가 ΕΔ와 같고 평행하므로, ΑΔ도 ΒΕ와 같고 평행하다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΓΖ τῇ ΒΕ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος·
같은 이유로 ΓΖ도 ΒΕ와 같고 평행하다.
ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΔ, ΓΖ τῇ ΒΕ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος.
따라서 ΑΔ, ΓΖ 각각은 ΒΕ와 같고 평행하다.
αἱ δὲ τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι καὶ μὴ οὖσαι αὐτῇ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι·
그런데 같은 한 직선과 평행하고 그것과 같은 평면 위에 있지 않은 직선들은 서로도 평행하다.
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΓΖ καὶ ἴση.
따라서 ΑΔ는 ΓΖ와 평행하고 같다.
καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς αἱ ΑΓ, ΔΖ·
그리고 그것들을 ΑΓ, ΔΖ가 연결하고 있다.
καὶ ἡ ΑΓ ἄρα τῇ ΔΖ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος.
따라서 ΑΓ도 ΔΖ와 같고 평행하다.
καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΑΒ, ΒΓ δυσὶ ταῖς ΔΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσίν, καὶ βάσις ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΔΖ ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση.
그리고 두 변 ΑΒ, ΒΓ가 두 변 ΔΕ, ΕΖ와 각각 같고, 밑변 ΑΓ가 밑변 ΔΖ와 같으므로, 각 ΑΒΓ는 각 ΔΕΖ와 같다.
ἐὰν ἄρα δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων ὦσι μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἴσας γωνίας περιέξουσιν·
따라서 만약 서로 만나는 두 직선이 서로 만나는 다른 두 직선과 평행하고 같은 평면 위에 있지 않다면, 그것들은 같은 각을 이룰 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.